Номер 2, страница 15 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 2. Перемещение. Путь. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 2, страница 15.

Условие.

2. Координаты движущегося по плоскости точечного тела изменяются по законам: $x(t) = 2 + 4t$, $y(t) = 4 - 7t$, где $x$ и $y$ измеряют в метрах, а $t$ — в секундах. Изобразите на графике траекторию движения тела и векторы его перемещений за первую, за вторую секунду движения и за первые три секунды движения. Определите пройденные телом пути за указанные промежутки времени.

Решение.

Дано:

Уравнения движения точечного тела:

$x(t) = 2 + 4t$

$y(t) = 4 - 7t$

Координаты $x, y$ измеряются в метрах (м), время $t$ — в секундах (с).

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

1. Изобразить на графике траекторию движения и векторы перемещений за первую секунду, за вторую секунду и за первые три секунды движения.

2. Пройденные телом пути $S_1, S_2, S_3$ за указанные промежутки времени.

Решение:

Траектория движения и ее изображение на графике

Чтобы получить уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $t$ из системы уравнений. Из первого уравнения выразим $t$:

$x = 2 + 4t \implies 4t = x - 2 \implies t = \frac{x-2}{4}$

Теперь подставим это выражение для $t$ во второе уравнение:

$y = 4 - 7t = 4 - 7 \left(\frac{x-2}{4}\right) = 4 - \frac{7x}{4} + \frac{14}{4} = 4 - 1.75x + 3.5$

Уравнение траектории: $y = 7.5 - 1.75x$.

Это уравнение вида $y = kx + b$, что соответствует прямой линии. Следовательно, движение тела является прямолинейным. Для построения графика найдем координаты тела в ключевые моменты времени:

При $t = 0$ с: $x_0 = 2 + 4 \cdot 0 = 2$ м, $y_0 = 4 - 7 \cdot 0 = 4$ м. Точка $P_0(2; 4)$.

При $t = 1$ с: $x_1 = 2 + 4 \cdot 1 = 6$ м, $y_1 = 4 - 7 \cdot 1 = -3$ м. Точка $P_1(6; -3)$.

При $t = 2$ с: $x_2 = 2 + 4 \cdot 2 = 10$ м, $y_2 = 4 - 7 \cdot 2 = -10$ м. Точка $P_2(10; -10)$.

При $t = 3$ с: $x_3 = 2 + 4 \cdot 3 = 14$ м, $y_3 = 4 - 7 \cdot 3 = -17$ м. Точка $P_3(14; -17)$.

На графике траектория будет представлять собой прямую, проходящую через эти точки. Векторы перемещений будут выглядеть следующим образом:

- Вектор перемещения за первую секунду, $\vec{\Delta r_1}$, начинается в точке $P_0(2; 4)$ и заканчивается в точке $P_1(6; -3)$.

- Вектор перемещения за вторую секунду, $\vec{\Delta r_2}$, начинается в точке $P_1(6; -3)$ и заканчивается в точке $P_2(10; -10)$.

- Вектор перемещения за первые три секунды, $\vec{\Delta r_3}$, начинается в точке $P_0(2; 4)$ и заканчивается в точке $P_3(14; -17)$.

Определение пройденных телом путей

Поскольку движение прямолинейное и в одном направлении (скорость не меняет направление), пройденный путь $S$ равен модулю вектора перемещения $|\vec{\Delta r}|$.

Зависимости координат от времени линейны, следовательно, движение является равномерным. Найдем проекции скорости на оси, взяв производные от координат по времени:

$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2 + 4t) = 4$ м/с.

$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(4 - 7t) = -7$ м/с.

Проекции скорости постоянны. Модуль скорости (путевая скорость) тела также постоянен:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65}$ м/с.

Пройденный путь для равномерного движения находим по формуле $S = v \cdot \Delta t$.

Пройденный путь за первую секунду движения

Временной интервал $\Delta t = 1 \text{ с} - 0 \text{ с} = 1$ с.

$S_1 = v \cdot \Delta t = \sqrt{65} \cdot 1 = \sqrt{65} \approx 8.06$ м.

Ответ: $\sqrt{65}$ м $\approx 8.06$ м.

Пройденный путь за вторую секунду движения

Временной интервал $\Delta t = 2 \text{ с} - 1 \text{ с} = 1$ с.

$S_2 = v \cdot \Delta t = \sqrt{65} \cdot 1 = \sqrt{65} \approx 8.06$ м.

Ответ: $\sqrt{65}$ м $\approx 8.06$ м.

Пройденный путь за первые три секунды движения

Временной интервал $\Delta t = 3 \text{ с} - 0 \text{ с} = 3$ с.

$S_3 = v \cdot \Delta t = \sqrt{65} \cdot 3 = 3\sqrt{65} \approx 24.18$ м.

Ответ: $3\sqrt{65}$ м $\approx 24.18$ м.