Номер 2, страница 10 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 1. Положение тела в пространстве. Системы отсчёта. Способы описания механического движения. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 2, страница 10.

Условие.

2. На рис. 8 показаны графики движения точечного тела, движущегося по плоскости $XY$. Запишите законы движения $x(t)$ и $y(t)$ в аналитическом виде. Определите начальные координаты тела, а также их значения для моментов времени $t = 0,2$ с и $0,4$ с. Получите уравнение траектории $y(x)$. Постройте траекторию на плоскости $XY$.

Рис. 8

Решение.

Дано:

Графики зависимости координат от времени $x(t)$ и $y(t)$.

$t_1 = 0,2$ c
$t_2 = 0,4$ c

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$x(t), y(t) - ?$
$x_0, y_0 - ?$
$x(t_1), y(t_1) - ?$
$x(t_2), y(t_2) - ?$
$y(x) - ?$
Построить траекторию.

Решение:

Законы движения x(t) и y(t) и начальные координаты

Из представленных графиков видно, что зависимости координат $x$ и $y$ от времени $t$ являются линейными. Это означает, что движение тела вдоль каждой из осей является равномерным (происходит с постоянной скоростью). Общий вид уравнений для равномерного движения: $x(t) = x_0 + v_x t$ $y(t) = y_0 + v_y t$ где $x_0$ и $y_0$ – начальные координаты тела (в момент времени $t=0$), а $v_x$ и $v_y$ – проекции скорости на оси $OX$ и $OY$ соответственно.

1. Определим начальные координаты тела по графикам, найдя значения $x$ и $y$ при $t=0$:
Из графика $X(t)$ находим: $x_0 = x(0) = 4$ м.
Из графика $Y(t)$ находим: $y_0 = y(0) = 0$ м.
Таким образом, начальные координаты тела $(4; 0)$ м.

2. Определим проекции скорости $v_x$ и $v_y$. Скорость является тангенсом угла наклона графика координаты к оси времени ($v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$):
Для оси $OX$, используя точки $(0 \text{ с}; 4 \text{ м})$ и $(0,4 \text{ с}; 2 \text{ м})$: $v_x = \frac{x(0,4) - x(0)}{0,4 - 0} = \frac{2 - 4}{0,4} = \frac{-2}{0,4} = -5$ м/с.
Для оси $OY$, используя точки $(0 \text{ с}; 0 \text{ м})$ и $(0,4 \text{ с}; 2 \text{ м})$: $v_y = \frac{y(0,4) - y(0)}{0,4 - 0} = \frac{2 - 0}{0,4} = \frac{2}{0,4} = 5$ м/с.

3. Запишем законы движения в аналитическом виде, подставив найденные значения $x_0, y_0, v_x, v_y$ в общие уравнения: $x(t) = 4 - 5t$
$y(t) = 5t$

Ответ: Начальные координаты тела: $(4; 0)$ м. Законы движения в аналитическом виде: $x(t) = 4 - 5t$ (м), $y(t) = 5t$ (м).

Значения координат для моментов времени t = 0,2 с и 0,4 с

Подставим заданные значения времени в полученные уравнения движения:

При $t = 0,2$ с:
$x(0,2) = 4 - 5 \cdot 0,2 = 4 - 1 = 3$ м.
$y(0,2) = 5 \cdot 0,2 = 1$ м.
Координаты тела в этот момент времени: $(3; 1)$ м.

При $t = 0,4$ с:
$x(0,4) = 4 - 5 \cdot 0,4 = 4 - 2 = 2$ м.
$y(0,4) = 5 \cdot 0,4 = 2$ м.
Координаты тела в этот момент времени: $(2; 2)$ м.

Ответ: В момент времени $t = 0,2$ с координаты тела $(3; 1)$ м. В момент времени $t = 0,4$ с координаты тела $(2; 2)$ м.

Уравнение траектории y(x)

Для получения уравнения траектории $y(x)$ необходимо исключить время $t$ из системы уравнений движения: $\begin{cases} x = 4 - 5t \\ y = 5t \end{cases}$

Из второго уравнения выразим время $t$: $t = \frac{y}{5}$

Теперь подставим это выражение для $t$ в первое уравнение: $x = 4 - 5 \left(\frac{y}{5}\right)$ $x = 4 - y$

Выразим $y$ как функцию от $x$: $y(x) = 4 - x$

Ответ: Уравнение траектории: $y(x) = 4 - x$.

Построение траектории на плоскости XY

Уравнение траектории $y = 4 - x$ является уравнением прямой линии. Чтобы построить траекторию, нужно начертить эту прямую в системе координат $XY$.

Для построения прямой достаточно двух точек. Мы уже знаем координаты тела в разные моменты времени, и все они лежат на этой прямой:

• При $t=0$: точка $(4, 0)$. Это точка пересечения с осью $OX$.
• При $t=0,2$ с: точка $(3, 1)$.
• При $t=0,4$ с: точка $(2, 2)$.

Траектория движения представляет собой отрезок этой прямой. Движение начинается в точке $(4, 0)$ и продолжается в направлении уменьшения координаты $x$ и увеличения координаты $y$. На графике это будет отрезок прямой, соединяющий точки $(4, 0)$ и $(2, 2)$, со стрелкой, указывающей направление движения от первой точки ко второй.

Ответ: Траектория движения — это прямая, описываемая уравнением $y = 4 - x$. Движение тела в интервале времени от $0$ до $0,4$ с происходит по отрезку этой прямой от точки $(4; 0)$ до точки $(2; 2)$.