Номер 3, страница 69 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 10. Равноускоренное движение по окружности. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 3, страница 69.

Условие.

3. Точечное тело начинает двигаться по окружности радиусом $r = 20 \text{ см}$ с постоянным тангенциальным ускорением, значение которого $a_{\tau} = 10 \text{ см/с}^2$. Определите, через какое время $\tau$ модуль центростремительного ускорения тела станет больше модуля его тангенциального ускорения в 3 раза. Определите модуль скорости тела в этот момент времени.

Решение.

Дано:

Радиус окружности, $r = 20$ см

Тангенциальное ускорение, $a_τ = 10$ см/с²

Начальная скорость, $v_0 = 0$ (тело начинает двигаться)

Условие: $a_c = 3 \cdot a_τ$

$r = 20 \text{ см} = 0.2 \text{ м}$

$a_τ = 10 \text{ см/с}^2 = 0.1 \text{ м/с}^2$

Найти:

Время, $τ$ - ?

Скорость, $v$ - ?

Решение:

Модуль центростремительного (нормального) ускорения тела, движущегося по окружности, определяется по формуле:

$a_c = \frac{v^2}{r}$

где $v$ — это модуль мгновенной линейной скорости тела, а $r$ — радиус окружности.

Так как тело начинает движение из состояния покоя с постоянным тангенциальным ускорением $a_τ$, его скорость в момент времени $τ$ можно найти по формуле для равноускоренного движения:

$v = v_0 + a_τ \cdot τ$

Поскольку $v_0 = 0$, то:

$v = a_τ \cdot τ$

Согласно условию задачи, в искомый момент времени $τ$ модуль центростремительного ускорения должен быть в 3 раза больше модуля тангенциального ускорения:

$a_c = 3 \cdot a_τ$

Подставим в это равенство выражения для $a_c$ и $v$:

$\frac{v^2}{r} = 3 \cdot a_τ$

$\frac{(a_τ \cdot τ)^2}{r} = 3 \cdot a_τ$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{a_τ^2 \cdot τ^2}{r} = 3 \cdot a_τ$

Поскольку тангенциальное ускорение $a_τ \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a_τ$:

$\frac{a_τ \cdot τ^2}{r} = 3$

Теперь выразим из этого уравнения время $τ$:

$τ^2 = \frac{3r}{a_τ}$

$τ = \sqrt{\frac{3r}{a_τ}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$τ = \sqrt{\frac{3 \cdot 0.2 \text{ м}}{0.1 \text{ м/с}^2}} = \sqrt{\frac{0.6}{0.1} \text{ с}^2} = \sqrt{6} \text{ с} \approx 2.45 \text{ с}$

Теперь, зная время $τ$, определим модуль скорости тела в этот момент, используя ранее выведенную формулу $v = a_τ \cdot τ$:

$v = 0.1 \text{ м/с}^2 \cdot \sqrt{6} \text{ с} = 0.1\sqrt{6} \text{ м/с} \approx 0.245 \text{ м/с}$

Ответ: время, через которое модуль центростремительного ускорения станет в 3 раза больше модуля тангенциального, составляет $τ = \sqrt{6} \text{ с} \approx 2.45 \text{ с}$. Модуль скорости тела в этот момент времени равен $v = 0.1\sqrt{6} \text{ м/с} \approx 0.245 \text{ м/с}$.