Номер 4, страница 69 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 10. Равноускоренное движение по окружности. Глава 1. Кинематика. Механика - номер 4, страница 69.

Условие.

*4. Камень бросили горизонтально с высокой башни со скоростью, модуль которой равен $10 \text{ м/с}$. Определите тангенциальное и центростремительное ускорения камня через $1 \text{ с}$ после начала движения. Оцените радиус кривизны траектории камня в точке, где он находился в указанное время.

Решение.

Дано:

$v_0 = 10 \text{ м/с}$

$t = 1 \text{ с}$

Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$a_{\tau} - ?$

$a_{n} - ?$

$R - ?$

Решение:

Движение камня, брошенного горизонтально, можно рассматривать как результат сложения двух независимых движений: равномерного по горизонтали и равноускоренного по вертикали (свободное падение).

1. Определение скорости камня через 1 с.

Горизонтальная составляющая скорости камня не изменяется и равна начальной скорости:

$v_x = v_0 = 10 \text{ м/с}$

Вертикальная составляющая скорости изменяется под действием силы тяжести по закону $v_y = gt$. Через $t = 1 \text{ с}$ она будет равна:

$v_y = 10 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \text{ с} = 10 \text{ м/с}$

Модуль полной скорости камня $v$ в этот момент времени найдем по теореме Пифагора:

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{(10 \text{ м/с})^2 + (10 \text{ м/с})^2} = \sqrt{100 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \text{ м/с}$

2. Определение тангенциального и центростремительного ускорений.

Единственное ускорение, действующее на камень в полете (при пренебрежении сопротивлением воздуха), — это ускорение свободного падения $\vec{g}$, которое направлено вертикально вниз. Модуль полного ускорения камня в любой точке траектории равен $a = g = 10 \text{ м/с}^2$.

Полное ускорение $\vec{a}$ можно разложить на две взаимно перпендикулярные составляющие:

• Тангенциальное ускорение $\vec{a}_{\tau}$, направленное по касательной к траектории (вдоль вектора скорости $\vec{v}$). Оно характеризует изменение модуля скорости.
• Нормальное (центростремительное) ускорение $\vec{a}_n$, направленное перпендикулярно вектору скорости к центру кривизны траектории. Оно характеризует изменение направления скорости.

Найдем угол $\alpha$, который вектор скорости $\vec{v}$ составляет с горизонталью. Из треугольника скоростей:

$\sin \alpha = \frac{v_y}{v} = \frac{10 \text{ м/с}}{10\sqrt{2} \text{ м/с}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$\cos \alpha = \frac{v_x}{v} = \frac{10 \text{ м/с}}{10\sqrt{2} \text{ м/с}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Тангенциальное ускорение является проекцией вектора полного ускорения $\vec{g}$ на направление вектора скорости $\vec{v}$. Угол между вертикальным вектором $\vec{g}$ и вектором $\vec{v}$ равен $(90^\circ - \alpha)$.

$a_{\tau} = g \cos(90^\circ - \alpha) = g \sin \alpha = 10 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \text{ м/с}^2 \approx 7,1 \text{ м/с}^2$

Нормальное ускорение является проекцией вектора $\vec{g}$ на направление, перпендикулярное вектору скорости.

$a_n = g \sin(90^\circ - \alpha) = g \cos \alpha = 10 \text{ м/с}^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \text{ м/с}^2 \approx 7,1 \text{ м/с}^2$

3. Оценка радиуса кривизны траектории.

Радиус кривизны траектории $R$ связан с модулем скорости $v$ и нормальным ускорением $a_n$ формулой:

$a_n = \frac{v^2}{R}$

Отсюда выражаем радиус кривизны:

$R = \frac{v^2}{a_n}$

Подставляем найденные значения:

$R = \frac{(10\sqrt{2} \text{ м/с})^2}{5\sqrt{2} \text{ м/с}^2} = \frac{200}{5\sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{2}} = 20\sqrt{2} \text{ м} \approx 28 \text{ м}$

Ответ: через 1 с после начала движения тангенциальное ускорение камня $a_{\tau} \approx 7,1 \text{ м/с}^2$, центростремительное ускорение $a_n \approx 7,1 \text{ м/с}^2$, а радиус кривизны траектории $R \approx 28 \text{ м}$.