Номер 3, страница 75 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 2. Кинематика твёрдого тела. Параграф 11. Поступательное и вращательное движения твёрдого тела. Упражнения - номер 3, страница 75.

Условие.

3. Шестерёнка колеса велосипедного тренажёра вращается с частотой $2 \text{ об/с}$. Диаметр шестерёнки равен $15 \text{ см}$, а диаметр колеса — $1 \text{ м}$. Определите, на сколько модуль скорости точки обода колеса превышает максимальный модуль скорости движущихся точек шестерёнки.

Решение.

Дано:

Частота вращения шестерёнки и колеса, $f = 2$ об/с = 2 Гц
Диаметр шестерёнки, $d_ш = 15$ см = 0,15 м
Диаметр колеса, $d_к = 1$ м

Найти:

$\Delta v = v_к - v_{ш_{max}}$ — разность скоростей.

Решение:

В условии задачи шестерёнка и колесо являются частью одного узла велосипедного тренажёра и вращаются вместе. Это означает, что их угловые скорости одинаковы.

Угловая скорость $\omega$ связана с частотой вращения $f$ соотношением:

$\omega = 2\pi f$

Линейная скорость $v$ точки, вращающейся по окружности радиусом $r$, определяется формулой:

$v = \omega r$

Максимальный модуль скорости движущихся точек шестерёнки будет у точек, наиболее удалённых от оси вращения, то есть на её ободе. Радиус шестерёнки $r_ш$ равен половине её диаметра $d_ш$:

$r_ш = \frac{d_ш}{2} = \frac{0,15 \text{ м}}{2} = 0,075 \text{ м}$

Следовательно, максимальная скорость точек шестерёнки равна:

$v_{ш_{max}} = \omega r_ш = 2\pi f r_ш$

Аналогично, скорость точки на ободе колеса зависит от радиуса колеса $r_к$, который равен половине диаметра колеса $d_к$:

$r_к = \frac{d_к}{2} = \frac{1 \text{ м}}{2} = 0,5 \text{ м}$

Скорость точки на ободе колеса:

$v_к = \omega r_к = 2\pi f r_к$

Чтобы определить, на сколько модуль скорости точки обода колеса превышает максимальный модуль скорости точек шестерёнки, найдём их разность $\Delta v$:

$\Delta v = v_к - v_{ш_{max}} = 2\pi f r_к - 2\pi f r_ш = 2\pi f (r_к - r_ш)$

Подставим известные значения в полученную формулу:

$\Delta v = 2\pi \cdot 2 \text{ Гц} \cdot (0,5 \text{ м} - 0,075 \text{ м}) = 4\pi \cdot 0,425 \text{ м} = 1,7\pi \text{ м/с}$

Для получения численного значения, используем приближённое значение $\pi \approx 3,14$:

$\Delta v \approx 1,7 \cdot 3,14 \text{ м/с} \approx 5,338 \text{ м/с} \approx 5,34 \text{ м/с}$

Ответ: модуль скорости точки обода колеса превышает максимальный модуль скорости движущихся точек шестерёнки на $1,7\pi \text{ м/с}$, что приблизительно равно $5,34 \text{ м/с}$.