Номер 2, страница 82 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 12. Сложение поступательного и вращательного движений. Плоское движение. Мгновенная ось вращения. Глава 2. Кинематика твёрдого тела. Механика - номер 2, страница 82.

Условие.

2. Колесо радиусом $R = 0.4 \text{ м}$ катится без проскальзывания по Земле так, что модуль скорости движения его оси равен $v_C = 2 \text{ м/с}$. Определите скорости точек обода колеса, расположенных в некоторый момент времени на вертикальном и горизонтальном диаметрах, для чего представьте движение колеса в виде суммы поступательного и вращательного движений.

Решение.

Дано:

Радиус колеса, $R = 0,4$ м

Скорость оси колеса, $v_ц = 2$ м/с

Движение без проскальзывания.

Найти:

Скорости точек обода колеса, расположенных на вертикальном и горизонтальном диаметрах.

Решение:

Движение колеса, которое катится без проскальзывания, является сложным. Его можно представить как сумму двух простых движений: поступательного движения со скоростью центра масс $\vec{v}_ц$ и вращательного движения вокруг оси, проходящей через центр колеса. Скорость любой точки на ободе колеса $\vec{v}$ равна векторной сумме скорости поступательного движения $\vec{v}_ц$ и линейной скорости вращательного движения $\vec{v}_{вр}$:

$\vec{v} = \vec{v}_ц + \vec{v}_{вр}$

Скорость поступательного движения $\vec{v}_ц$ одинакова для всех точек колеса, ее модуль равен $v_ц = 2$ м/с, и она направлена горизонтально (вдоль направления движения).

Линейная скорость вращательного движения $\vec{v}_{вр}$ для точек на ободе направлена по касательной к окружности. Ее модуль вычисляется как $v_{вр} = \omega R$, где $\omega$ — угловая скорость вращения.

Условие качения без проскальзывания означает, что точка обода, которая в данный момент касается земли, имеет нулевую скорость относительно земли. В этой точке вектор поступательной скорости $\vec{v}_ц$ направлен вперед, а вектор линейной скорости вращения $\vec{v}_{вр}$ — назад. Поскольку их сумма равна нулю, их модули должны быть равны:

$v_ц = v_{вр}$

Следовательно, модуль линейной скорости вращательного движения для любой точки на ободе равен скорости центра колеса:

$v_{вр} = v_ц = 2$ м/с.

Рассмотрим скорости четырех интересующих нас точек.

Скорость верхней точки на вертикальном диаметре

В самой верхней точке обода вектор поступательной скорости $\vec{v}_ц$ и вектор линейной скорости вращения $\vec{v}_{вр}$ направлены в одну и ту же сторону (горизонтально, по направлению движения). Поэтому их модули складываются:

$v_{верх} = v_ц + v_{вр} = 2 \text{ м/с} + 2 \text{ м/с} = 4 \text{ м/с}$

Ответ: скорость верхней точки обода равна $4$ м/с и направлена горизонтально.

Скорость нижней точки на вертикальном диаметре

В самой нижней точке обода, касающейся земли, векторы $\vec{v}_ц$ и $\vec{v}_{вр}$ равны по модулю и противоположны по направлению, что соответствует условию качения без проскальзывания.

$v_{нижн} = v_ц - v_{вр} = 2 \text{ м/с} - 2 \text{ м/с} = 0 \text{ м/с}$

Ответ: скорость нижней точки обода равна $0$ м/с.

Скорость передней точки на горизонтальном диаметре

В самой передней точке (по направлению движения) на горизонтальном диаметре вектор поступательной скорости $\vec{v}_ц$ направлен горизонтально вперед, а вектор линейной скорости вращения $\vec{v}_{вр}$ направлен вертикально вниз (по касательной). Эти два вектора перпендикулярны друг другу. Модуль результирующей скорости находится по теореме Пифагора:

$v_{перед} = \sqrt{v_ц^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{(2 \text{ м/с})^2 + (2 \text{ м/с})^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,83 \text{ м/с}$

Ответ: скорость передней точки на горизонтальном диаметре равна $2\sqrt{2} \approx 2,83$ м/с и направлена под углом 45° вниз к горизонту.

Скорость задней точки на горизонтальном диаметре

В самой задней точке на горизонтальном диаметре вектор поступательной скорости $\vec{v}_ц$ направлен горизонтально вперед, а вектор линейной скорости вращения $\vec{v}_{вр}$ направлен вертикально вверх. Эти векторы также перпендикулярны. Модуль результирующей скорости будет таким же, как и у передней точки:

$v_{задн} = \sqrt{v_ц^2 + v_{вр}^2} = \sqrt{(2 \text{ м/с})^2 + (2 \text{ м/с})^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \approx 2,83 \text{ м/с}$

Ответ: скорость задней точки на горизонтальном диаметре равна $2\sqrt{2} \approx 2,83$ м/с и направлена под углом 45° вверх к горизонту.