Номер 2, страница 87 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 13. Примеры решения задач о плоском движении твёрдых тел. Глава 2. Кинематика твёрдого тела. Механика - номер 2, страница 87.

Условие.

2. Катушку, лежащую на горизонтальной крышке стола, тянут за конец A нерастяжимой нити, намотанной на её среднюю часть, так, что катушка катится без проскальзывания и её ось не изменяет своей ориентации относительно стола (рис. 77). Скорость движения точки A нити постоянна и равна $\vec{v}_A$. Определите скорость движения оси O катушки, если радиус $r$ её средней части в 3 раза меньше радиуса $R$ её щёк.

Рис. 77

Решение.

Дано

Скорость движения точки А нити: $v_A$
Радиус щёк катушки: $R$
Радиус средней части катушки: $r$
Соотношение радиусов: $R = 3r$
Условие: качение без проскальзывания.

Найти:

Скорость движения оси О катушки: $v_O$

Решение

Движение катушки можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного движения центра масс (оси О) со скоростью $v_O$ и вращательного движения вокруг оси О с угловой скоростью $\omega$.

Так как катушка катится без проскальзывания, то скорость её нижней точки (точки касания с поверхностью) равна нулю. Скорость этой точки складывается из скорости поступательного движения $v_O$ и линейной скорости вращательного движения, равной $\omega R$ и направленной в противоположную сторону. Таким образом, получаем условие качения без проскальзывания:
$v_O - \omega R = 0$
Отсюда следует, что $v_O = \omega R$ (1).

Скорость точки А нити $v_A$ равна скорости верхней точки намотки нити на катушке. Скорость этой точки складывается из скорости поступательного движения $v_O$ и линейной скорости вращательного движения $\omega r$. Оба вектора скорости направлены в одну сторону (вправо), поэтому:
$v_A = v_O + \omega r$ (2).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными ($v_O$ и $\omega$). Выразим угловую скорость $\omega$ из уравнения (1):
$\omega = \frac{v_O}{R}$

Подставим это выражение в уравнение (2):
$v_A = v_O + \left(\frac{v_O}{R}\right) r = v_O \left(1 + \frac{r}{R}\right)$

Теперь выразим искомую скорость оси $v_O$:
$v_O = \frac{v_A}{1 + \frac{r}{R}}$

По условию задачи, радиус средней части $r$ в 3 раза меньше радиуса щёк $R$, то есть $R = 3r$ или $\frac{r}{R} = \frac{1}{3}$. Подставим это соотношение в полученную формулу:
$v_O = \frac{v_A}{1 + \frac{1}{3}} = \frac{v_A}{\frac{4}{3}} = \frac{3}{4} v_A$

Ответ: Скорость движения оси катушки равна $v_O = \frac{3}{4} v_A$.