Номер 1, страница 87 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 13. Примеры решения задач о плоском движении твёрдых тел. Глава 2. Кинематика твёрдого тела. Механика - номер 1, страница 87.

Условие.

1. По озеру движется катер. К катеру прикреплён трос, за другой конец которого держится спортсмен на водных лыжах. Угол между тросом и скоростью катера равен $30^\circ$, а угол между тросом и скоростью лыжника — $60^\circ$ (рис. 76). Определите скорость лыжника, если модуль скорости катера равен 54 км/ч.

Рис. 76

Решение.

Дано:

Модуль скорости катера $v_к = 54$ км/ч.

Угол между тросом и скоростью катера $\alpha = 30^\circ$.

Угол между тросом и скоростью лыжника $\beta = 60^\circ$.

Перевод в систему СИ:

$v_к = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} = 54 \cdot \frac{1000 \text{ м}}{3600 \text{ с}} = 15 \text{ м/с}$.

Найти:

Скорость лыжника $v_л$.

Решение:

Трос, который соединяет катер и лыжника, является нерастяжимым, поэтому его длина остается постоянной. Это физическое условие означает, что проекции векторов скорости катера ($ \vec{v_к} $) и лыжника ($ \vec{v_л} $) на направление троса должны быть равны. Если бы они не были равны, трос бы либо провисал, либо рвался.

Обозначим скорость катера как $v_к$, а скорость лыжника — $v_л$.

Проекция скорости катера на направление троса вычисляется как $v_{к, \text{пр}} = v_к \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между вектором скорости катера и тросом.

Проекция скорости лыжника на направление троса вычисляется как $v_{л, \text{пр}} = v_л \cos(\beta)$, где $\beta$ — угол между вектором скорости лыжника и тросом.

Приравниваем проекции скоростей:

$v_{к, \text{пр}} = v_{л, \text{пр}}$

$v_к \cos(\alpha) = v_л \cos(\beta)$

Из этого соотношения выражаем искомую скорость лыжника $v_л$:

$v_л = v_к \frac{\cos(\alpha)}{\cos(\beta)}$

Подставим в формулу числовые значения из условия задачи:

$v_л = 54 \frac{\text{км}}{\text{ч}} \cdot \frac{\cos(30^\circ)}{\cos(60^\circ)}$

Используем известные значения тригонометрических функций:

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$

Выполняем расчет:

$v_л = 54 \cdot \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = 54 \cdot \sqrt{3} \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Для получения конечного численного ответа, используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,732$:

$v_л \approx 54 \cdot 1,732 \approx 93,528 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$

Округлим результат до одного знака после запятой, получим $93,5$ км/ч.

Ответ: скорость лыжника равна $54\sqrt{3}$ км/ч, что приблизительно составляет $93,5$ км/ч.