Номер 1, страница 82 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 12. Сложение поступательного и вращательного движений. Плоское движение. Мгновенная ось вращения. Глава 2. Кинематика твёрдого тела. Механика - номер 1, страница 82.

Условие.

1. Колесо автомобиля радиусом $0.4 \text{ м}$ движется по Земле так, что модуль скорости движения его оси равен $2 \text{ м/с}$, а угловая скорость вращения колеса равна $4\pi \text{ рад/с}$. Определите скорость движения точки колеса, касающейся дороги. Тормозит, разгоняется или движется равномерно данный автомобиль?

Решение.

Дано:

Радиус колеса, $R = 0,4$ м

Модуль скорости оси (поступательная скорость), $v_{пост} = 2$ м/с

Угловая скорость вращения, $\omega = 4\pi$ рад/с

Найти:

Скорость точки колеса, касающейся дороги, $v_{к}$ — ?

Характер движения автомобиля (тормозит, разгоняется или движется равномерно) — ?

Решение:

Движение колеса является сложным и состоит из двух видов движения: поступательного движения центра колеса (оси) со скоростью $v_{пост}$ и вращательного движения всех точек колеса вокруг оси с угловой скоростью $\omega$.

Результирующая скорость любой точки колеса является векторной суммой поступательной скорости и линейной скорости вращательного движения.

Линейная скорость точки на ободе колеса, обусловленная его вращением, определяется по формуле:

$v_{вр} = \omega \cdot R$

Подставим известные значения:

$v_{вр} = 4\pi \text{ рад/с} \cdot 0,4 \text{ м} = 1,6\pi \text{ м/с}$

Используя приближенное значение $\pi \approx 3,14$, получим:

$v_{вр} \approx 1,6 \cdot 3,14 = 5,024 \text{ м/с}$

Для точки, которая в данный момент касается дороги, вектор поступательной скорости $v_{пост}$ направлен вперед (по ходу движения автомобиля), а вектор линейной скорости вращения $v_{вр}$ направлен в противоположную сторону, то есть назад. Результирующая скорость этой точки $v_{к}$ будет их разностью. Примем направление движения автомобиля за положительное.

$v_{к} = v_{пост} - v_{вр} = 2 \text{ м/с} - 1,6\pi \text{ м/с} \approx 2 - 5,024 = -3,024 \text{ м/с}$

Знак «минус» указывает на то, что скорость точки касания направлена против движения автомобиля. Модуль скорости равен $|-3,024| = 3,024$ м/с.

Теперь определим характер движения автомобиля. Это можно сделать, сравнив поступательную скорость $v_{пост}$ и линейную скорость вращения $v_{вр}$:

• Если $v_{пост} = v_{вр}$, то колесо катится без проскальзывания ($v_{к} = 0$). Это соответствует равномерному движению.
• Если $v_{пост} > v_{вр}$, то колесо вращается медленнее, чем нужно для данной поступательной скорости. Это означает, что колесо проскальзывает (идет «юзом»), что характерно для торможения.
• Если $v_{пост} < v_{вр}$, то колесо вращается быстрее, чем нужно для данной поступательной скорости. Это означает, что колесо пробуксовывает, что характерно для разгона.

В нашем случае:

$v_{пост} = 2$ м/с

$v_{вр} \approx 5,024$ м/с

Так как $v_{пост} < v_{вр}$, колесо пробуксовывает. Следовательно, автомобиль разгоняется.

Ответ: Скорость движения точки колеса, касающейся дороги, равна $3,024$ м/с и направлена в сторону, противоположную движению автомобиля. Автомобиль разгоняется.