Номер 3, страница 87 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Параграф 13. Примеры решения задач о плоском движении твёрдых тел. Глава 2. Кинематика твёрдого тела. Механика - номер 3, страница 87.

Условие.

3. Вырезанный из однородного листа металла равносторонний треугольник ABC движется по гладкой горизонтальной плоскости. В некоторый момент времени скорость $\vec{v}_A$ вершины A этого треугольника оказалась перпендикулярной биссектрисе угла A, а скорость вершины B оказалась направленной вдоль стороны AB. Определите для этого момента времени направление и модуль скорости вершины C и центра O треугольника.

Решение.

Дано:

Треугольник ABC - равносторонний

Скорость вершины A, $\vec{v}_A$, перпендикулярна биссектрисе угла A.

Скорость вершины B, $\vec{v}_B$, направлена вдоль стороны AB.

Модуль скорости вершины A равен $v_A$.

Найти:

Направление и модуль скорости вершины C ($v_C$) и центра O ($v_O$).

Решение:

Плоское движение твердого тела в любой момент времени можно рассматривать как чистое вращение вокруг некоторой точки, называемой мгновенным центром скоростей (МЦС). Скорость любой точки тела перпендикулярна отрезку, соединяющему эту точку с МЦС, а ее модуль равен $v = \omega r$, где $\omega$ — угловая скорость вращения вокруг МЦС, а $r$ — расстояние от точки до МЦС.

Найдем положение МЦС для треугольника в заданный момент времени. МЦС находится на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей, проведенных из соответствующих точек.

1. По условию, скорость $\vec{v}_A$ перпендикулярна биссектрисе угла A. Следовательно, МЦС лежит на самой биссектрисе угла A (которая в равностороннем треугольнике является также медианой и высотой).

2. Скорость $\vec{v}_B$ направлена вдоль стороны AB. Следовательно, МЦС лежит на прямой, перпендикулярной стороне AB и проходящей через точку B.

Пусть МЦС — это точка P. Тогда P — это точка пересечения биссектрисы угла A и перпендикуляра к AB, восстановленного из точки B. Рассмотрим треугольник ABP. Угол $\angle PAB$ — это угол между стороной AB и биссектрисой угла A. Поскольку $\angle CAB = 60^\circ$, то $\angle PAB = 30^\circ$. По построению, угол $\angle PBA = 90^\circ$. Таким образом, треугольник ABP — прямоугольный.

Пусть сторона равностороннего треугольника равна $a$. Из треугольника ABP найдем расстояния от МЦС до вершин A и B:

$PA = \frac{AB}{\cos(30^\circ)} = \frac{a}{\sqrt{3}/2} = \frac{2a}{\sqrt{3}}$

$PB = AB \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Модули скоростей $v_A$ и $v_B$ связаны соотношениями:

$v_A = \omega \cdot PA = \omega \frac{2a}{\sqrt{3}}$

$v_B = \omega \cdot PB = \omega \frac{a}{\sqrt{3}}$

Отсюда следует, что $v_A = 2v_B$, или $v_B = v_A / 2$.

Для определения скоростей вершины C и центра O найдем расстояния PC и PO. Введем систему координат: поместим вершину A на ось OY, а сторону BC — на ось OX. Тогда вершины будут иметь координаты: $A(0, a\sqrt{3}/2)$, $B(-a/2, 0)$, $C(a/2, 0)$. Центр треугольника O (точка пересечения медиан) будет иметь координаты $O(0, a\sqrt{3}/6)$.

МЦС P лежит на биссектрисе угла A (ось OY) и на перпендикуляре к AB в точке B. Уравнение прямой AB: $y-0=\sqrt{3}(x+a/2)$. Уравнение перпендикуляра к ней в точке B: $y-0 = -1/\sqrt{3}(x+a/2)$. Точка P, лежащая на оси OY (где $x=0$), будет иметь ординату $y_P = -1/\sqrt{3}(a/2) = -a/(2\sqrt{3})$. Итак, P имеет координаты $(0, -a/(2\sqrt{3}))$.

Теперь найдем расстояния PC и PO:

$PC^2 = (x_C-x_P)^2 + (y_C-y_P)^2 = (a/2 - 0)^2 + (0 - (-a/(2\sqrt{3})))^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{12} = \frac{a^2}{3} \implies PC = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

$PO^2 = (x_O-x_P)^2 + (y_O-y_P)^2 = (0 - 0)^2 + (a\sqrt{3}/6 - (-a/(2\sqrt{3})))^2 = (a\sqrt{3}/6 + a\sqrt{3}/6)^2 = (a\sqrt{3}/3)^2 = \frac{a^2}{3} \implies PO = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Модули скоростей вершины C и центра O равны:

$v_C = \omega \cdot PC = \omega \frac{a}{\sqrt{3}} = v_B = \frac{v_A}{2}$

$v_O = \omega \cdot PO = \omega \frac{a}{\sqrt{3}} = v_B = \frac{v_A}{2}$

Направления скоростей $\vec{v}_C$ и $\vec{v}_O$ перпендикулярны отрезкам PC и PO соответственно.
Направление отрезка AC определяется вектором $\vec{AC} = C - A = (a/2, -a\sqrt{3}/2)$. Его наклон $k_{AC} = -\sqrt{3}$.
Направление отрезка PC определяется вектором $\vec{PC} = C - P = (a/2, a/(2\sqrt{3}))$. Его наклон $k_{PC} = 1/\sqrt{3}$.
Поскольку $k_{AC} \cdot k_{PC} = -1$, отрезки AC и PC перпендикулярны. Значит, вектор $\vec{v}_C$ направлен параллельно стороне AC.

Сторона BC лежит на оси OX, то есть параллельна ей.
Отрезок PO соединяет точки $P(0, -a/(2\sqrt{3}))$ и $O(0, a\sqrt{3}/6)$, то есть лежит на оси OY.
Ось OX и ось OY перпендикулярны, значит BC и PO перпендикулярны. Следовательно, вектор $\vec{v}_O$ направлен параллельно стороне BC.

Чтобы определить точное направление (например, от A к C или от C к A), определим направление вращения. Пусть $\vec{v}_A$ направлена вправо (вдоль положительной оси OX). Вектор $\vec{r}_{PA} = A-P$ направлен вверх (вдоль положительной оси OY). Чтобы получить $\vec{v}_A$ из $\vec{r}_{PA}$ вращением, вращение должно происходить по часовой стрелке ($\vec{v}_A \sim \vec{\omega} \times \vec{r}_{PA}$). При вращении по часовой стрелке точка C будет двигаться в направлении от A к C, а точка O — в направлении от B к C.

Ответ: Скорость вершины C имеет модуль $v_C = v_A/2$ и направлена вдоль стороны AC (от точки A к точке C).
Скорость центра O имеет модуль $v_O = v_A/2$ и направлена вдоль стороны BC (от точки B к точке C).