Номер 3, страница 82 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 12. Сложение поступательного и вращательного движений. Плоское движение. Мгновенная ось вращения. Глава 2. Кинематика твёрдого тела. Механика - номер 3, страница 82.

Условие.

3. Колесо радиусом 0,6 м катится без проскальзывания по Земле, вращаясь вокруг своей оси с частотой 2 рад/с. Определите скорости точек обода колеса, расположенных в некоторый момент времени на вертикальном и горизонтальном диаметрах, для чего используйте мгновенную ось вращения.

Решение.

Дано:

Радиус колеса, $R = 0,6$ м

Угловая скорость вращения, $\omega = 2$ рад/с

Найти:

Скорости точек обода колеса, расположенных на вертикальном и горизонтальном диаметрах ($v_{верхн}$, $v_{нижн}$, $v_{бок}$).

Решение:

В условии задачи указана "частота" с единицами измерения рад/с, что по определению является угловой скоростью, которую мы обозначаем как $\omega$.

Для решения задачи воспользуемся понятием мгновенной оси вращения (МОВ). При качении тела без проскальзывания точка, которая в данный момент времени касается поверхности, неподвижна. Эта точка и является мгновенной осью вращения. Движение всего колеса в этот момент можно рассматривать как чистое вращение вокруг этой оси с угловой скоростью $\omega$.

Скорость любой точки твердого тела при вращении вокруг оси находится по формуле: $v = \omega \cdot r$, где $r$ — расстояние от точки до оси вращения. Вектор скорости $\vec{v}$ перпендикулярен радиус-вектору $\vec{r}$, проведенному от оси вращения к точке.

В нашем случае МОВ — это самая нижняя точка колеса, точка его касания с Землей.

Скорости точек на вертикальном диаметре

1. Нижняя точка обода.

Эта точка является мгновенной осью вращения. Расстояние от нее до самой себя равно нулю: $r_{нижн} = 0$.

Следовательно, ее скорость равна:

$v_{нижн} = \omega \cdot r_{нижн} = 2 \cdot 0 = 0$ м/с.

2. Верхняя точка обода.

Эта точка максимально удалена от МОВ. Расстояние до нее равно диаметру колеса: $r_{верхн} = 2R$.

$r_{верхн} = 2 \cdot 0,6 = 1,2$ м.

Скорость верхней точки равна:

$v_{верхн} = \omega \cdot r_{верхн} = 2 \text{ рад/с} \cdot 1,2 \text{ м} = 2,4$ м/с.

Вектор скорости этой точки направлен горизонтально, в ту же сторону, куда катится колесо.

Ответ: Скорость нижней точки обода равна 0 м/с. Скорость верхней точки обода равна 2,4 м/с и направлена горизонтально в сторону движения.

Скорости точек на горизонтальном диаметре

Рассмотрим точки на концах горизонтального диаметра (переднюю и заднюю, если смотреть по направлению движения).

Расстояние от этих точек до мгновенной оси вращения (нижней точки) одинаково. Его можно найти по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника, катетами которого являются радиус колеса (вертикальное расстояние от центра до МОВ) и радиус колеса (горизонтальное расстояние от центра до точки на ободе).

Расстояние $r_{бок}$ до МОВ:

$r_{бок} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

$r_{бок} = 0,6 \cdot \sqrt{2} \approx 0,849$ м.

Модуль скорости для обеих точек на горизонтальном диаметре будет одинаков:

$v_{бок} = \omega \cdot r_{бок} = \omega R\sqrt{2} = 2 \cdot 0,6\sqrt{2} = 1,2\sqrt{2}$ м/с.

$v_{бок} \approx 1,2 \cdot 1,414 \approx 1,7$ м/с.

Направления скоростей этих точек различны, так как вектор скорости всегда перпендикулярен радиус-вектору, проведенному от МОВ:

- Для передней точки (по ходу движения) вектор скорости направлен вперед и вниз под углом 45° к горизонту.

- Для задней точки вектор скорости направлен вперед и вверх под углом 45° к горизонту.

Ответ: Скорости точек, расположенных на горизонтальном диаметре, равны по модулю $1,2\sqrt{2} \approx 1,7$ м/с. Вектор скорости передней точки направлен вперед и вниз под углом 45° к горизонту, а задней — вперед и вверх под углом 45° к горизонту.