Номер 4, страница 117 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 18. Деформации. Сила упругости. Закон Гука. Упражнения - номер 4, страница 117.

Условие.

4. Две лёгкие пружины с коэффициентами упругости $k_1$ и $k_2$ скрепляют, соединив конец первой с началом второй. К началу первой пружины и концу второй пружины прикладывают противоположно направленные силы, модуль каждой из которых равен $F$. Определите: а) удлинение каждой из пружин;б) коэффициент упругости (жёсткость) полученной системы пружин.

Решение.

Дано:

Коэффициент упругости первой пружины: $k_1$

Коэффициент упругости второй пружины: $k_2$

Модуль приложенной силы: $F$

Соединение пружин: последовательное.

Найти:

а) Удлинение каждой из пружин: $\Delta l_1, \Delta l_2$

б) Коэффициент упругости системы: $k_{общ}$

Решение:

Поскольку пружины лёгкие, их массой можно пренебречь. При последовательном соединении пружин сила натяжения одинакова во всех точках системы. Это означает, что на каждую пружину действует одна и та же растягивающая сила, равная по модулю внешней приложенной силе $F$.

а) удлинение каждой из пружин

Для определения удлинения каждой пружины воспользуемся законом Гука, который гласит, что сила упругости, возникающая в пружине, пропорциональна её удлинению: $F_{упр} = k \Delta l$. В состоянии равновесия модуль силы упругости равен модулю приложенной внешней силы $F$.

Для первой пружины:

$F = k_1 \cdot \Delta l_1$

Отсюда выразим удлинение первой пружины $\Delta l_1$:

$\Delta l_1 = \frac{F}{k_1}$

Аналогично для второй пружины:

$F = k_2 \cdot \Delta l_2$

Отсюда выразим удлинение второй пружины $\Delta l_2$:

$\Delta l_2 = \frac{F}{k_2}$

Ответ: Удлинение первой пружины $\Delta l_1 = \frac{F}{k_1}$, удлинение второй пружины $\Delta l_2 = \frac{F}{k_2}$.

б) коэффициент упругости (жёсткость) полученной системы пружин

Общее удлинение системы пружин при последовательном соединении равно сумме удлинений каждой из пружин:

$\Delta l_{общ} = \Delta l_1 + \Delta l_2$

Подставим в это выражение формулы для $\Delta l_1$ и $\Delta l_2$, полученные в пункте а):

$\Delta l_{общ} = \frac{F}{k_1} + \frac{F}{k_2} = F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Общий коэффициент упругости (жёсткость) системы $k_{общ}$ определяется по закону Гука для всей системы как единого целого:

$F = k_{общ} \cdot \Delta l_{общ}$

Теперь подставим в это уравнение найденное выражение для общего удлинения $\Delta l_{общ}$:

$F = k_{общ} \cdot F \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Сократим обе части уравнения на $F$ (так как по условию сила приложена, $F \neq 0$):

$1 = k_{общ} \left( \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2} \right)$

Из этого соотношения можно выразить $k_{общ}$. Сначала найдем величину, обратную жёсткости:

$\frac{1}{k_{общ}} = \frac{1}{k_1} + \frac{1}{k_2}$

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю:

$\frac{1}{k_{общ}} = \frac{k_2 + k_1}{k_1 k_2}$

Наконец, найдем $k_{общ}$, "перевернув" полученную дробь:

$k_{общ} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$

Ответ: Коэффициент упругости системы $k_{общ} = \frac{k_1 k_2}{k_1 + k_2}$.