Номер 2, страница 241 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 6. Динамика вращательного движения. Параграф 42. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Упражнения - номер 2, страница 241.

Условие.

2. На краю неподвижной горизонтальной круглой платформы радиусом $r = 10$ м и массой $M = 100$ кг стоит ученик массой $m = 50$ кг. Платформа может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр. Ученик начинает идти вдоль края платформы. Оцените угловую скорость платформы в тот момент, когда модуль скорости ученика относительно платформы станет равным $v = 2$ м/с. Платформу считайте однородным диском.

Решение.

Дано:

Радиус платформы, $r = 10$ м

Масса платформы, $M = 100$ кг

Масса ученика, $m = 50$ кг

Скорость ученика относительно платформы, $v = 2$ м/с

Найти:

Угловую скорость платформы, $\omega$

Решение:

Рассмотрим систему, состоящую из платформы и ученика. Так как платформа может свободно вращаться вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, и внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры) скомпенсированы, то момент внешних сил относительно этой оси равен нулю. Следовательно, для системы "платформа-ученик" выполняется закон сохранения момента импульса.

В начальный момент времени платформа и ученик покоятся, поэтому суммарный момент импульса системы равен нулю:

$L_{нач} = 0$

Когда ученик начинает идти вдоль края платформы со скоростью $v$ относительно платформы, платформа начинает вращаться в противоположную сторону с некоторой угловой скоростью $\omega$. Суммарный момент импульса системы в этот момент времени, согласно закону сохранения, также должен быть равен нулю.

$L_{кон} = L_{п} + L_{у} = 0$

где $L_п$ — момент импульса платформы, а $L_у$ — момент импульса ученика относительно оси вращения.

Платформу считаем однородным диском, ее момент инерции относительно оси вращения равен:

$I_п = \frac{1}{2} M r^2$

Ученика можно считать материальной точкой, находящейся на расстоянии $r$ от оси вращения. Чтобы найти его момент импульса, нам нужна его абсолютная скорость $v_{абс}$ (относительно земли).

Абсолютная скорость ученика равна векторной сумме его скорости относительно платформы $v$ и линейной скорости той точки края платформы, по которой он движется, $v_п = \omega r$. Поскольку ученик движется в одну сторону, а платформа вращается в противоположную, их скорости направлены в разные стороны. Выберем направление движения ученика относительно платформы за положительное. Тогда абсолютная скорость ученика будет равна:

$v_{абс} = v - \omega r$

Момент импульса ученика (направлен в положительную сторону) равен:

$L_у = m v_{абс} r = m (v - \omega r) r$

Момент импульса платформы (направлен в отрицательную сторону, так как она вращается в противоположную сторону) равен:

$L_п = -I_п \omega = -\frac{1}{2} M r^2 \omega$

Подставим выражения для моментов импульса в закон сохранения:

$L_{кон} = m (v - \omega r) r - \frac{1}{2} M r^2 \omega = 0$

Раскроем скобки и выразим искомую угловую скорость $\omega$:

$mvr - m\omega r^2 - \frac{1}{2} M r^2 \omega = 0$

$mvr = (m r^2 + \frac{1}{2} M r^2) \omega$

$mvr = r^2 (m + \frac{M}{2}) \omega$

$\omega = \frac{mvr}{r^2 (m + \frac{M}{2})} = \frac{mv}{r (m + \frac{M}{2})}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\omega = \frac{50 \text{ кг} \cdot 2 \text{ м/с}}{10 \text{ м} \cdot (50 \text{ кг} + \frac{100 \text{ кг}}{2})} = \frac{100}{10 \cdot (50 + 50)} = \frac{100}{10 \cdot 100} = \frac{100}{1000} = 0.1$ рад/с

Ответ: угловая скорость платформы равна $0.1$ рад/с.