Номер 2, страница 241 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Вопросы. Параграф 42. Момент импульса. Закон сохранения момента импульса. Глава 6. Динамика вращательного движения. Механика - номер 2, страница 241.

Условие.

2. Как изменяется с течением времени момент импульса твёрдого тела относительно неподвижной в ИСО оси вращения при действии на него постоянного суммарного момента внешних сил?

Решение.

Решение

Связь между моментом импульса твёрдого тела $\vec{L}$ и суммарным моментом внешних сил $\vec{M}$, действующих на это тело, описывается основным уравнением динамики вращательного движения. Для вращения относительно неподвижной оси в инерциальной системе отсчета (ИСО) это уравнение имеет вид:

$\vec{M} = \frac{d\vec{L}}{dt}$

Это уравнение гласит, что скорость изменения момента импульса тела равна приложенному к нему суммарному моменту внешних сил.

В условии задачи сказано, что суммарный момент внешних сил постоянен, то есть $\vec{M} = \text{const}$. Следовательно, производная момента импульса по времени также является постоянной величиной:

$\frac{d\vec{L}}{dt} = \text{const}$

Чтобы найти, как момент импульса $\vec{L}$ зависит от времени $t$, проинтегрируем это уравнение. Изменение момента импульса $d\vec{L}$ за малый промежуток времени $dt$ равно $d\vec{L} = \vec{M}dt$. Интегрируя обе части от начального момента времени $t_0=0$ (когда момент импульса был равен $\vec{L}_0$) до произвольного момента времени $t$ (когда момент импульса стал $\vec{L}(t)$), получаем:

$\int_{\vec{L}_0}^{\vec{L}(t)} d\vec{L} = \int_{0}^{t} \vec{M} dt$

Поскольку $\vec{M}$ — постоянный вектор, его можно вынести за знак интеграла:

$\vec{L}(t) - \vec{L}_0 = \vec{M} \int_{0}^{t} dt$

$\vec{L}(t) - \vec{L}_0 = \vec{M}t$

Отсюда находим зависимость момента импульса от времени:

$\vec{L}(t) = \vec{L}_0 + \vec{M}t$

Это уравнение показывает, что вектор момента импульса $\vec{L}$ изменяется со временем по линейному закону. Приращение момента импульса $\Delta\vec{L} = \vec{L}(t) - \vec{L}_0$ прямо пропорционально прошедшему времени $t$ и направлено в ту же сторону, что и постоянный вектор момента внешних сил $\vec{M}$.

Ответ: При действии на твёрдое тело постоянного суммарного момента внешних сил его момент импульса относительно неподвижной в ИСО оси вращения изменяется с течением времени по линейному закону.