Номер 4, страница 237 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 6. Динамика вращательного движения. Параграф 41. Динамика вращательного движения. Момент инерции. Упражнения - номер 4, страница 237.

Условие.

4. Докажите, что момент инерции однородной тонкостенной трубы массой $M$ и радиусом $R$ относительно её оси симметрии, перпендикулярной плоскости её поперечного сечения, может быть рассчитан по формуле (6) и не зависит от длины трубы.

Решение.

Дано:

Однородная тонкостенная труба

Масса трубы: $M$

Радиус трубы: $R$

Ось вращения: ось симметрии, перпендикулярная плоскости поперечного сечения.

Найти:

Доказать, что момент инерции $I$ не зависит от длины трубы и может быть рассчитан по формуле для тонкого кольца (полого цилиндра).

Решение:

Момент инерции твердого тела относительно некоторой оси определяется как сумма произведений масс элементарных частиц тела на квадраты их расстояний до этой оси. Для непрерывного распределения массы это определение записывается в виде интеграла:

$I = \int r^2 dm$

где $dm$ — элемент массы тела, а $r$ — его расстояние до оси вращения.

В случае однородной тонкостенной трубы, ось вращения которой совпадает с её осью симметрии, все элементы массы $dm$, из которых состоит труба, находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения. Это расстояние равно радиусу трубы $R$.

Таким образом, для любого элемента массы $dm$ расстояние $r$ в формуле для момента инерции является постоянной величиной: $r = R$.

Подставим это постоянное значение в интеграл:

$I = \int R^2 dm$

Так как $R^2$ является константой, мы можем вынести её за знак интеграла:

$I = R^2 \int dm$

Интеграл $\int dm$ по всему телу представляет собой сумму всех элементарных масс, что по определению равно полной массе тела $M$.

$\int dm = M$

Подставляя это в предыдущее выражение, получаем окончательную формулу для момента инерции:

$I = MR^2$

Полученная формула зависит только от массы $M$ и радиуса $R$ трубы. Длина трубы $L$ не вошла в итоговое выражение. Это доказывает, что момент инерции однородной тонкостенной трубы относительно её оси симметрии не зависит от её длины. Эта формула (предположительно, формула (6) из условия) является стандартной для момента инерции тонкого кольца или полого цилиндра.

Ответ: Момент инерции тонкостенной трубы вычисляется по формуле $I = \int r^2 dm$. Поскольку для всех элементов массы $dm$ трубы расстояние до оси вращения постоянно и равно радиусу $R$, то $I = \int R^2 dm = R^2 \int dm = MR^2$. Эта формула не содержит длины трубы, что и требовалось доказать.