Номер 3, страница 237 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Механика. Глава 6. Динамика вращательного движения. Параграф 41. Динамика вращательного движения. Момент инерции. Упражнения - номер 3, страница 237.

Условие.

3. Сравнив формулы (6) и (7), объясните, почему момент инерции однородного диска меньше момента инерции однородного тонкостенного обруча такой же массы и радиуса.

Решение.

Решение

Момент инерции тела ($I$) является мерой его инертности во вращательном движении. Он зависит не только от массы тела ($m$), но и от того, как эта масса распределена относительно оси вращения. В общем виде момент инерции определяется как сумма произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до оси вращения: $I = \int r^2 dm$.

В задаче требуется сравнить момент инерции однородного диска и однородного тонкостенного обруча при условии, что их массы ($m$) и радиусы ($R$) одинаковы. Будем считать, что ось вращения в обоих случаях проходит через центр масс перпендикулярно плоскости объектов.

Формула для момента инерции однородного диска (предположительно, формула (6) из контекста):
$I_{диск} = \frac{1}{2}mR^2$

Формула для момента инерции однородного тонкостенного обруча (предположительно, формула (7) из контекста):
$I_{обруч} = mR^2$

Сравнивая эти две формулы, мы видим, что:
$I_{диск} = \frac{1}{2} I_{обруч}$

Поскольку $\frac{1}{2} < 1$, то момент инерции диска в два раза меньше момента инерции обруча при одинаковых массе и радиусе.

Физическая причина этого различия заключается в распределении массы.

У тонкостенного обруча вся его масса $m$ находится на одинаковом и максимально возможном расстоянии от оси вращения, равном радиусу $R$. Поэтому каждый элемент массы вносит максимальный вклад в общий момент инерции.

У однородного диска масса $m$ равномерно распределена по всей его площади, то есть на расстояниях от $r=0$ (в центре) до $r=R$ (на краю). Это означает, что значительная часть массы диска находится ближе к оси вращения, чем у обруча. Элементы массы, расположенные ближе к центру, вносят меньший вклад в момент инерции, так как этот вклад пропорционален квадрату расстояния ($r^2$). В результате "усредненное" значение квадрата расстояния для всех точек диска оказывается меньше, чем $R^2$. Интегрирование по всей площади диска дает итоговый коэффициент $\frac{1}{2}$, который и отражает тот факт, что в среднем масса диска расположена ближе к оси вращения, чем масса обруча.

Ответ: Момент инерции однородного диска меньше момента инерции однородного тонкостенного обруча той же массы и радиуса, потому что у обруча вся масса сконцентрирована на максимальном расстоянии от оси вращения ($R$), в то время как у диска масса распределена по всей площади от центра до края. Поскольку вклад каждого элемента массы в момент инерции пропорционален квадрату его расстояния до оси вращения, более удаленная от оси масса обруча создает больший суммарный момент инерции. Математически это выражается в том, что $I_{диск} = \frac{1}{2}mR^2$, а $I_{обруч} = mR^2$, и, следовательно, $I_{диск} < I_{обруч}$.