Номер 1, страница 232 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 40. Распределение давления в движущейся жидкости. Уравнение Бернулли. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 1, страница 232.

Условие.

Проведите анализ уравнения Бернулли. Рассмотрите следующие случаи: а) скорость движения жидкости равна нулю (сравните полученный результат с формулой для расчёта гидростатического давления); б) труба располагается горизонтально.

Решение.

Решение

Уравнение Бернулли, являющееся следствием закона сохранения энергии для движущейся жидкости, для двух сечений установившегося потока идеальной (невязкой и несжимаемой) жидкости имеет вид:

$p_1 + \rho g h_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \rho g h_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}$

где $p$ – статическое давление, $\rho$ – плотность жидкости, $g$ – ускорение свободного падения, $h$ – высота сечения над некоторым условным уровнем, $v$ – скорость потока жидкости. Сумма этих трёх членов, представляющих собой давление, удельную потенциальную энергию и удельную кинетическую энергию, есть величина постоянная вдоль линии тока.

Проанализируем это уравнение для заданных случаев.

а) скорость движения жидкости равна нулю

Если жидкость находится в состоянии покоя, то её скорость в любой точке равна нулю: $v_1 = 0$ и $v_2 = 0$. В этом случае члены, соответствующие динамическому давлению ($\frac{\rho v^2}{2}$), обращаются в ноль. Уравнение Бернулли принимает вид:

$p_1 + \rho g h_1 + 0 = p_2 + \rho g h_2 + 0$

Отсюда:

$p_1 + \rho g h_1 = p_2 + \rho g h_2$

Преобразуем это выражение, чтобы найти разность давлений между точками 1 и 2:

$p_2 - p_1 = \rho g h_1 - \rho g h_2 = \rho g (h_1 - h_2)$

Полученное выражение $p_2 - p_1 = \rho g (h_1 - h_2)$ в точности совпадает с формулой для расчёта гидростатического давления столба жидкости высотой $h = h_1 - h_2$. Эта формула является основным уравнением гидростатики. Таким образом, для покоящейся жидкости уравнение Бернулли сводится к уравнению гидростатики, что логично, так как гидростатика является частным случаем гидродинамики.

Ответ: Если скорость движения жидкости равна нулю ($v=0$), уравнение Бернулли принимает вид $p_1 + \rho g h_1 = p_2 + \rho g h_2$, что является основным уравнением гидростатики. Это показывает, что разность давлений между двумя точками в покоящейся жидкости определяется только разностью высот и равна гидростатическому давлению $\Delta p = \rho g \Delta h$.

б) труба располагается горизонтально

Если труба, по которой течёт жидкость, расположена горизонтально, это означает, что все точки рассматриваемого потока находятся на одной и той же высоте. Следовательно, $h_1 = h_2$. В этом случае члены, соответствующие гидростатическому давлению ($\rho g h$), в обеих частях уравнения Бернулли одинаковы и взаимно уничтожаются:

$p_1 + \rho g h_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \rho g h_1 + \frac{\rho v_2^2}{2}$

Уравнение упрощается до вида:

$p_1 + \frac{\rho v_1^2}{2} = p_2 + \frac{\rho v_2^2}{2}$

Или, в общем виде, для любого сечения горизонтального потока:

$p + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const}$

Это означает, что при горизонтальном течении идеальной жидкости сумма статического и динамического давлений остаётся постоянной. Из этого следует важный вывод: в тех сечениях трубы, где скорость потока выше (например, в более узких местах), статическое давление ниже. И наоборот, в сечениях, где скорость потока ниже (в более широких местах), статическое давление выше.

Ответ: Если труба расположена горизонтально ($h_1 = h_2$), уравнение Бернулли принимает вид $p + \frac{\rho v^2}{2} = \text{const}$. Это означает, что в участках потока с большей скоростью статическое давление меньше, а в участках с меньшей скоростью — больше.