Номер 4, страница 232 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Вопросы. Параграф 40. Распределение давления в движущейся жидкости. Уравнение Бернулли. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 4, страница 232.

Условие.

4. Какой фундаментальный закон был использован при выводе уравнения Бернулли?

Решение.

4. Решение

При выводе уравнения Бернулли был использован фундаментальный закон сохранения энергии. Уравнение Бернулли является следствием применения этого закона к стационарному потоку идеальной жидкости (то есть невязкой и несжимаемой).

Вывод уравнения основывается на теореме об изменении полной механической энергии. Для элементарного объема жидкости, движущегося вдоль линии тока, изменение его полной механической энергии (суммы кинетической и потенциальной) равно работе всех внешних неконсервативных сил. В потоке идеальной жидкости такой силой является сила давления.

Рассмотрим элементарный объем жидкости $V$ с массой $m=\rho V$, который перемещается из сечения 1 (с параметрами $p_1$, $v_1$, $h_1$) в сечение 2 (с параметрами $p_2$, $v_2$, $h_2$). Изменение его полной механической энергии равно:

$\Delta E = \Delta E_k + \Delta E_p = (E_{k2} - E_{k1}) + (E_{p2} - E_{p1})$

$\Delta E = (\frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2) + (m g h_2 - m g h_1)$

Работа, совершаемая над этим объемом силами давления, равна $A_p = (p_1 - p_2)V$.

Согласно закону сохранения энергии (в форме теоремы об изменении механической энергии), изменение полной механической энергии равно работе внешних неконсервативных сил: $\Delta E = A_p$.

$(\frac{1}{2} m v_2^2 - \frac{1}{2} m v_1^2) + (m g h_2 - m g h_1) = (p_1 - p_2)V$

Подставим массу как $m = \rho V$ и разделим все уравнение на объем $V$:

$(\frac{1}{2} \rho v_2^2 - \frac{1}{2} \rho v_1^2) + (\rho g h_2 - \rho g h_1) = p_1 - p_2$

Перегруппировав слагаемые так, чтобы с одной стороны были параметры для сечения 1, а с другой — для сечения 2, получим уравнение Бернулли:

$p_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = p_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$

Или в общем виде для любой точки вдоль линии тока:

$p + \rho g h + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{const}$

Это уравнение и является математическим выражением закона сохранения энергии для движущейся идеальной жидкости. Каждый член уравнения имеет размерность энергии на единицу объема: $p$ – статическое давление, $\rho g h$ – гидростатическое давление (плотность потенциальной энергии в поле силы тяжести), а $\frac{1}{2}\rho v^2$ – динамическое давление (плотность кинетической энергии).

Ответ: При выводе уравнения Бернулли был использован фундаментальный закон сохранения энергии.