Номер 5, страница 228 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 39. Законы гидро- и аэростатики. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 5, страница 228.

Условие.

5. Два однородных тела из одного и того же материала, подвешенные к концам разноплечих весов, уравновешивают друг друга в вакууме. Сохранится ли равновесие в воздухе? Изменится ли ответ, если эти тела изготовлены из материалов с разной плотностью?

Решение.

Сохранится ли равновесие в воздухе?

Решение

Пусть массы двух тел равны $m_1$ и $m_2$, а плечи весов, к которым они подвешены, — $l_1$ и $l_2$ соответственно. По условию, весы разноплечие, то есть $l_1 \ne l_2$.

В вакууме на тела действует только сила тяжести. Условие равновесия рычажных весов заключается в равенстве моментов сил, действующих на плечи:

$M_1 = M_2$

$m_1 g l_1 = m_2 g l_2$

Отсюда получаем соотношение для масс:

$m_1 l_1 = m_2 l_2$

Так как $l_1 \ne l_2$, то и массы тел должны быть различны: $m_1 \ne m_2$.

При переносе весов в воздух на каждое тело, помимо силы тяжести, начинает действовать выталкивающая сила Архимеда $F_A$, направленная вертикально вверх. Равновесие сохранится, если моменты сил останутся равными:

$(m_1 g - F_{A1}) l_1 = (m_2 g - F_{A2}) l_2$

Раскроем скобки:

$m_1 g l_1 - F_{A1} l_1 = m_2 g l_2 - F_{A2} l_2$

Поскольку из условия равновесия в вакууме $m_1 g l_1 = m_2 g l_2$, для сохранения равновесия в воздухе необходимо, чтобы моменты выталкивающих сил также были равны:

$F_{A1} l_1 = F_{A2} l_2$

Сила Архимеда определяется по формуле $F_A = \rho_{возд} g V$, где $\rho_{возд}$ — плотность воздуха, а $V$ — объем тела. Тогда условие принимает вид:

$\rho_{возд} g V_1 l_1 = \rho_{возд} g V_2 l_2$

$V_1 l_1 = V_2 l_2$

По условию, тела изготовлены из одного и того же материала, значит их плотности $\rho_{тела}$ одинаковы. Объем тела можно выразить через его массу и плотность: $V = m / \rho_{тела}$. Подставим это в наше условие:

$\frac{m_1}{\rho_{тела}} l_1 = \frac{m_2}{\rho_{тела}} l_2$

Сократив одинаковую плотность $\rho_{тела}$, мы получаем:

$m_1 l_1 = m_2 l_2$

Это выражение в точности совпадает с первоначальным условием равновесия в вакууме. Следовательно, если тела сделаны из одного материала, равновесие в воздухе сохранится.

Ответ: Да, равновесие сохранится.

Изменится ли ответ, если эти тела изготовлены из материалов с разной плотностью?

Решение

Условие равновесия в вакууме остается прежним: $m_1 l_1 = m_2 l_2$.

Как и в первом случае, для сохранения равновесия в воздухе требуется равенство моментов выталкивающих сил, что приводит к условию:

$V_1 l_1 = V_2 l_2$

Теперь тела изготовлены из материалов с разной плотностью, $\rho_1 \ne \rho_2$. Выразим объемы тел через их массы и плотности: $V_1 = m_1/\rho_1$ и $V_2 = m_2/\rho_2$. Подставим в условие:

$\frac{m_1}{\rho_1} l_1 = \frac{m_2}{\rho_2} l_2$

Сгруппируем члены:

$\frac{m_1 l_1}{\rho_1} = \frac{m_2 l_2}{\rho_2}$

Из условия равновесия в вакууме мы знаем, что $m_1 l_1 = m_2 l_2$. Подставив это в левую часть, получим:

$\frac{m_2 l_2}{\rho_1} = \frac{m_2 l_2}{\rho_2}$

Это равенство может выполняться только в том случае, если $\rho_1 = \rho_2$. Однако по условию плотности материалов различны. Следовательно, моменты выталкивающих сил не будут равны, и равновесие нарушится.

Чаша весов с телом, имеющим бо́льшую плотность, опустится. Это произойдет потому, что при равенстве $m_1 l_1 = m_2 l_2$ момент выталкивающей силы $\rho_{возд} g \frac{m l}{\rho_{тела}}$ будет меньше для тела с большей плотностью $\rho_{тела}$. Соответственно, уменьшение веса этого тела (и момента силы) из-за действия воздуха будет меньшим.

Ответ: Да, ответ изменится. В этом случае равновесие в воздухе не сохранится.