Номер 4, страница 228 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 39. Законы гидро- и аэростатики. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 4, страница 228.

Условие.

4. В правое колено U-образной трубки налили жидкость плотностью $p_1$, а в левое колено — жидкость плотностью $p_2$. Жидкости, не смешиваясь, установились так, как показано на рис. 188. Докажите, что $p_2 \cdot h_2 = p_1 \cdot h_1$.

Рис. 188

Решение.

Дано:

В U-образной трубке находятся две несмешивающиеся жидкости в равновесии.

Плотность жидкости в правом колене: $\rho_1$

Плотность жидкости в левом колене: $\rho_2$

Высота столба жидкости плотностью $\rho_1$ над уровнем их раздела: $h_1$

Высота столба жидкости плотностью $\rho_2$ над уровнем их раздела: $h_2$

Доказать:

$\rho_2 \cdot h_2 = \rho_1 \cdot h_1$

Решение:

Рассмотрим U-образную трубку (сообщающиеся сосуды), в которой находятся две несмешивающиеся жидкости в состоянии равновесия. Так как жидкости находятся в равновесии, давление на любом горизонтальном уровне внутри одной и той же жидкости должно быть одинаковым.

Выберем горизонтальный уровень, проходящий через границу раздела двух жидкостей (линия AB на рисунке). Точки A и B находятся на этом уровне.

Давление в точке A ($p_A$) создается столбом жидкости плотностью $\rho_2$ и высотой $h_2$, а также атмосферным давлением $p_{атм}$ на открытую поверхность жидкости в левом колене.

$p_A = p_{атм} + \rho_2 \cdot g \cdot h_2$

Давление в точке B ($p_B$) создается столбом жидкости плотностью $\rho_1$ и высотой $h_1$, а также атмосферным давлением $p_{атм}$ на открытую поверхность жидкости в правом колене.

$p_B = p_{атм} + \rho_1 \cdot g \cdot h_1$

Согласно закону Паскаля для жидкостей в сообщающихся сосудах, давления на одном и том же горизонтальном уровне в покоящейся жидкости равны. Следовательно, $p_A = p_B$.

Приравняем выражения для давлений в точках A и B:

$p_{атм} + \rho_2 \cdot g \cdot h_2 = p_{атм} + \rho_1 \cdot g \cdot h_1$

Сократим атмосферное давление $p_{атм}$ в обеих частях уравнения:

$\rho_2 \cdot g \cdot h_2 = \rho_1 \cdot g \cdot h_1$

Сократим ускорение свободного падения $g$:

$\rho_2 \cdot h_2 = \rho_1 \cdot h_1$

Таким образом, мы доказали требуемое соотношение.

Ответ: Равенство $\rho_2 \cdot h_2 = \rho_1 \cdot h_1$ доказано на основании равенства гидростатических давлений в сообщающихся сосудах на уровне раздела жидкостей.