Номер 3, страница 228 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 39. Законы гидро- и аэростатики. Глава 5. Статика. Гидро- и аэростатика. Механика - номер 3, страница 228.

Условие.

3. На рис. 187 изображено несколько сосудов, соединённых между собой горизонтальной трубкой. Такие сосуды называют сообщающимися. Если в эти сосуды налить однородную жидкость, то поверхности жидкости во всех сосудах установятся на одной высоте $h$. Докажите это, используя формулу для расчёта гидростатического давления.

Рис. 187

Решение.

Дано:

Сообщающиеся сосуды, в которые налита однородная жидкость плотностью $\rho$.

Жидкость находится в равновесии.

Найти:

Доказать, что поверхности жидкости во всех сосудах установятся на одной высоте $h$.

Решение:

Формула для расчёта гидростатического давления столба жидкости на некоторой глубине $h$ имеет вид:

$p = \rho \cdot g \cdot h$

где $\rho$ — плотность жидкости, $g$ — ускорение свободного падения.

Рассмотрим точки A, B, C и D, расположенные на одном горизонтальном уровне в нижней соединительной трубке. Поскольку жидкость является однородной и находится в состоянии покоя (равновесия), давление во всех точках, расположенных на одном горизонтальном уровне, должно быть одинаковым. Следовательно:

$p_A = p_B = p_C = p_D$

Давление в каждой из этих точек складывается из давления столба жидкости над ней и атмосферного давления ($p_{атм}$), которое действует на открытую поверхность жидкости во всех сосудах. Обозначим высоты столбов жидкости в сосудах соответственно как $h_A$, $h_B$, $h_C$ и $h_D$. Тогда можно записать:

$p_A = p_{атм} + \rho g h_A$

$p_B = p_{атм} + \rho g h_B$

$p_C = p_{атм} + \rho g h_C$

$p_D = p_{атм} + \rho g h_D$

Так как $p_A = p_B = p_C = p_D$, то мы можем приравнять правые части этих выражений:

$p_{атм} + \rho g h_A = p_{атм} + \rho g h_B = p_{атм} + \rho g h_C = p_{атм} + \rho g h_D$

Вычтем из всех частей этого равенства одинаковую величину – атмосферное давление $p_{атм}$:

$\rho g h_A = \rho g h_B = \rho g h_C = \rho g h_D$

Поскольку плотность жидкости $\rho$ и ускорение свободного падения $g$ являются постоянными величинами, мы можем разделить все части равенства на произведение $\rho g$:

$h_A = h_B = h_C = h_D$

Это доказывает, что в сообщающихся сосудах любой формы и сечения поверхности однородной жидкости устанавливаются на одном уровне.

Ответ: В состоянии равновесия давление на любом горизонтальном уровне внутри однородной жидкости одинаково. Давление в нижней части каждого сосуда создается столбом жидкости над ней и определяется по формуле $p = \rho g h$. Так как давление на уровне соединительной трубки должно быть одинаковым во всех сосудах, чтобы жидкость находилась в равновесии, то и высоты столбов жидкости ($h$) над этим уровнем также должны быть одинаковыми, что и требовалось доказать.