Номер 6, страница 238 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 41. Динамика вращательного движения. Момент инерции. Глава 6. Динамика вращательного движения. Механика - номер 6, страница 238.

Условие.

6. Определите модуль и направление силы, с которой велосипедное колесо из упражнения 5 действует на ось O.

Решение.

Для решения задачи необходимо использовать данные из упражнения 5, на которое ссылается условие, а также сделать некоторые обоснованные предположения, так как условие упражнения 5 является неполным и может содержать неточности в формулировках.

Предположения:

1. В условии упражнения 5 фраза "На ось колеса намотана нить" интерпретируется как "Нить намотана на обод колеса". Это предположение необходимо, так как в противном случае рычаг силы натяжения нити был бы равен нулю, и подвешенный груз не создавал бы вращающего момента, что лишает часть условия физического смысла.

2. Вращающие моменты, создаваемые силой $F_1$ и силой натяжения нити $T$, направлены в противоположные стороны. Расчеты показывают, что если моменты сонаправлены, ускорение груза превышает ускорение свободного падения ($a > g$), что физически невозможно. Так как момент силы $F_1$ ($F_1 R$) больше максимально возможного момента силы натяжения ($mgR$), то именно сила $F_1$ определяет направление вращения.

3. Направление касательной силы $F_1$ в условии не уточнено. Будем считать, что сила $F_1$ приложена горизонтально. Сила натяжения нити $\vec{T}$ от подвешенного груза направлена вертикально вниз.

Дано:

Радиус колеса, $R = 40 \text{ см}$
Касательная сила, $F_1 = 40 \text{ Н}$
Масса груза, $m = 2,0 \text{ кг}$
Масса колеса, $M = 3,0 \text{ кг}$
(Масса колеса равномерно распределена по ободу, момент инерции $I = MR^2$)

Перевод в систему СИ:
$R = 0,40 \text{ м}$

Примем ускорение свободного падения $g = 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

Модуль $F$ и направление силы, с которой колесо действует на ось O.

Решение:

По условию, ось колеса O неподвижна, значит, центр масс колеса покоится и его ускорение равно нулю. Согласно второму закону Ньютона, векторная сумма всех внешних сил, приложенных к колесу, равна нулю. Эти силы включают: силу тяжести колеса $\vec{P}$, внешнюю касательную силу $\vec{F}_1$, силу натяжения нити $\vec{T}$ и силу реакции оси $\vec{F}_{оси}$.

$\vec{P} + \vec{F}_1 + \vec{T} + \vec{F}_{оси} = 0$

Согласно третьему закону Ньютона, сила $\vec{F}$, с которой колесо действует на ось, равна по модулю и противоположна по направлению силе реакции оси $\vec{F}_{оси}$:

$\vec{F} = - \vec{F}_{оси}$

Из этих двух уравнений следует, что искомая сила равна векторной сумме всех остальных внешних сил:

$\vec{F} = \vec{P} + \vec{F}_1 + \vec{T}$

Чтобы найти модуль силы натяжения нити $T$, необходимо рассмотреть динамику системы. Запишем основное уравнение динамики вращательного движения для колеса и второй закон Ньютона для груза.

Момент инерции колеса, представляющего собой обруч, равен $I = MR^2$.

Уравнение моментов относительно оси O (положительное направление - против часовой стрелки): $\sum \tau = I\epsilon$. В соответствии с предположением 2, моменты сил $\vec{F}_1$ и $\vec{T}$ противонаправлены. Пусть момент от $F_1$ больше и вызывает вращение против часовой стрелки.

$F_1 R - TR = MR^2 \epsilon$

Разделив на $R$, получим: $F_1 - T = MR\epsilon$ (1)

При вращении колеса против часовой стрелки груз будет подниматься с ускорением $a$. Запишем второй закон Ньютона для груза (ось направлена вверх):

$T - mg = ma$

Линейное ускорение $a$ связано с угловым $\epsilon$ соотношением $a = \epsilon R$. Тогда:

$T = m(g + a) = m(g + \epsilon R)$ (2)

Подставим выражение для $T$ из (2) в (1):

$F_1 - m(g + \epsilon R) = MR\epsilon$

$F_1 - mg - mR\epsilon = MR\epsilon$

$F_1 - mg = (MR + mR)\epsilon$

Отсюда находим угловое ускорение:

$\epsilon = \frac{F_1 - mg}{(M+m)R}$

$\epsilon = \frac{40 \text{ Н} - 2,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}{(3,0 \text{ кг} + 2,0 \text{ кг}) \cdot 0,40 \text{ м}} = \frac{40 - 20}{5,0 \cdot 0,40} = \frac{20}{2,0} = 10 \text{ рад/с}^2$

Теперь можем найти силу натяжения нити $T$:

$a = \epsilon R = 10 \text{ рад/с}^2 \cdot 0,40 \text{ м} = 4,0 \text{ м/с}^2$

$T = m(g+a) = 2,0 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с}^2 + 4,0 \text{ м/с}^2) = 2,0 \cdot 14 = 28 \text{ Н}$

Теперь найдем искомую силу $\vec{F}$. Введем декартову систему координат с началом в центре колеса O, ось OX направим горизонтально вправо, а ось OY — вертикально вверх. В соответствии с нашими предположениями ($\vec{F}_1$ — горизонтальна, а $\vec{T}$ и $\vec{P}$ — вертикальны):

Проекция силы $\vec{F}_1$ на оси: $\vec{F}_1 = (40 \text{ Н}; 0)$.

Проекция силы натяжения $\vec{T}$: $\vec{T} = (0; -28 \text{ Н})$.

Сила тяжести колеса: $P = Mg = 3,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 30 \text{ Н}$.

Проекция силы тяжести $\vec{P}$: $\vec{P} = (0; -30 \text{ Н})$.

Найдем проекции результирующей силы $\vec{F}$:

$F_x = F_{1x} + T_x + P_x = 40 + 0 + 0 = 40 \text{ Н}$

$F_y = F_{1y} + T_y + P_y = 0 - 28 - 30 = -58 \text{ Н}$

Модуль силы $F$ найдем по теореме Пифагора:

$F = \sqrt{F_x^2 + F_y^2} = \sqrt{40^2 + (-58)^2} = \sqrt{1600 + 3364} = \sqrt{4964} \approx 70,5 \text{ Н}$

Направление силы определим как угол $\alpha$ наклона вектора силы к горизонтальной оси:

$\tan\alpha = \frac{|F_y|}{|F_x|} = \frac{58}{40} = 1,45$

$\alpha = \arctan(1,45) \approx 55,4^\circ$

Так как проекция $F_x > 0$ и $F_y < 0$, вектор силы направлен вправо и вниз.

Ответ: Модуль силы, с которой колесо действует на ось, равен приблизительно 70,5 Н. Сила направлена под углом $55,4^\circ$ к горизонту вниз (в предположении, что внешняя сила $F_1$ была приложена горизонтально).