Номер 8, страница 238 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 41. Динамика вращательного движения. Момент инерции. Глава 6. Динамика вращательного движения. Механика - номер 8, страница 238.

Условие.

*8. Тонкий обруч радиусом $R$ скатывается без скольжения с горки высотой $H$. Определите скорость центра обруча в конце горки.

Решение.

Дано:

Тонкий обруч

Радиус: $R$

Высота горки: $H$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Условие: скатывается без скольжения

Найти:

Скорость центра обруча в конце горки: $v$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения механической энергии. Поскольку обруч скатывается с горки без скольжения, работа силы трения покоя равна нулю. Следовательно, полная механическая энергия системы сохраняется.

В начальный момент времени, на вершине горки на высоте $H$, обруч обладает только потенциальной энергией (примем, что начальная скорость равна нулю):

$E_{начальная} = E_{потенциальная} = mgH$

где $m$ — масса обруча, $g$ — ускорение свободного падения.

В конечный момент времени, у подножия горки (примем этот уровень за нулевой уровень потенциальной энергии), вся потенциальная энергия перешла в кинетическую. Кинетическая энергия движущегося обруча складывается из энергии поступательного движения его центра масс и энергии вращательного движения вокруг центра масс:

$E_{конечная} = E_{кинетическая} = E_{поступательная} + E_{вращательная} = \frac{mv^2}{2} + \frac{I\omega^2}{2}$

Здесь $v$ — искомая скорость центра масс, $I$ — момент инерции обруча, $\omega$ — его угловая скорость.

Момент инерции тонкого обруча относительно оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости, равен:

$I = mR^2$

Условие скатывания без скольжения связывает линейную скорость центра масс $v$ и угловую скорость $\omega$:

$v = \omega R$

Отсюда можно выразить угловую скорость через линейную: $\omega = \frac{v}{R}$.

Подставим выражения для момента инерции $I$ и угловой скорости $\omega$ в формулу для конечной кинетической энергии:

$E_{конечная} = \frac{mv^2}{2} + \frac{(mR^2)(\frac{v}{R})^2}{2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mR^2 v^2}{2R^2} = \frac{mv^2}{2} + \frac{mv^2}{2} = mv^2$

Согласно закону сохранения энергии, начальная энергия равна конечной:

$E_{начальная} = E_{конечная}$

$mgH = mv^2$

Сократив массу $m$ в обеих частях уравнения, получим:

$gH = v^2$

Из этого выражения находим искомую скорость центра обруча:

$v = \sqrt{gH}$

Ответ: $v = \sqrt{gH}$