Номер 7, страница 238 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Упражнения. Параграф 41. Динамика вращательного движения. Момент инерции. Глава 6. Динамика вращательного движения. Механика - номер 7, страница 238.

Условие.

*7. Однородный цилиндр массой $M$ и радиусом $R$ может свободно вращаться вокруг своей закреплённой оси $OO_1$. На цилиндр намотана лёгкая нерастяжимая верёвка, конец которой в некоторый момент времени начинают тянуть с постоянной силой $\vec{F}$ так, как показано на рис. 192. Зная, что верёвка не скользит по цилиндру, определите кинетическую энергию цилиндра через время $t$ после начала действия силы.

Рис. 192

Решение.

Дано:

Масса цилиндра: $M$

Радиус цилиндра: $R$

Сила натяжения верёвки: $F$ (постоянная)

Время действия силы: $t$

Начальная угловая скорость: $\omega_0 = 0$

Найти:

Кинетическую энергию цилиндра $E_k$ через время $t$.

Решение:

Так как цилиндр вращается вокруг неподвижной оси, его кинетическая энергия — это энергия вращательного движения, которая вычисляется по формуле:

$E_k = \frac{I\omega^2}{2}$

где $I$ — момент инерции цилиндра, а $\omega$ — его угловая скорость в момент времени $t$.

Момент инерции однородного сплошного цилиндра относительно его оси симметрии равен:

$I = \frac{1}{2}MR^2$

Сила $F$, приложенная к верёвке, создаёт вращающий момент $\tau$ относительно оси вращения. Поскольку верёвка не скользит, плечо силы равно радиусу цилиндра $R$. Момент силы равен:

$\tau = F \cdot R$

Согласно основному уравнению динамики вращательного движения твёрдого тела, вращающий момент связан с угловым ускорением $\varepsilon$ соотношением:

$\tau = I\varepsilon$

Приравняем выражения для момента и подставим формулу для момента инерции:

$F \cdot R = \left(\frac{1}{2}MR^2\right)\varepsilon$

Отсюда выразим угловое ускорение:

$\varepsilon = \frac{F \cdot R}{\frac{1}{2}MR^2} = \frac{2F}{MR}$

Поскольку сила $F$ постоянна, то и угловое ускорение $\varepsilon$ также постоянно. Вращение является равноускоренным. Угловая скорость цилиндра в момент времени $t$, при условии, что он начал вращаться из состояния покоя ($\omega_0=0$), находится по формуле:

$\omega = \omega_0 + \varepsilon t = 0 + \frac{2F}{MR}t = \frac{2Ft}{MR}$

Теперь подставим найденные выражения для момента инерции $I$ и угловой скорости $\omega$ в формулу для кинетической энергии:

$E_k = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{2}MR^2\right) \left(\frac{2Ft}{MR}\right)^2 = \frac{1}{4}MR^2 \cdot \frac{4F^2t^2}{M^2R^2}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$E_k = \frac{F^2t^2}{M}$

Ответ: Кинетическая энергия цилиндра через время $t$ после начала действия силы равна $E_k = \frac{F^2t^2}{M}$.