Номер 5, страница 377 - гдз по физике 10 класс учебник Грачев, Погожев

Электродинамика. Глава 10. Электростатика. Параграф 68. Закон Кулона. Вопросы - номер 5, страница 377.

Условие.

5. Почему при решении задач о взаимодействии точечных зарядов можно не учитывать силу их гравитационного взаимодействия? (Подсказка: для ответа на вопрос вычислите, во сколько раз модуль электростатической силы взаимодействия двух электронов (а) , двух протонов (б) превышает модуль силы их гравитационного взаимодействия. При расчётах электрон и протон считайте точечными телами, массу электрона считайте равной $m_e = 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг, а массу протона $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг.)

Решение.

При решении задач о взаимодействии точечных зарядов, особенно на уровне элементарных частиц, силой их гравитационного взаимодействия можно пренебречь, потому что она на много порядков слабее силы электростатического взаимодействия. Чтобы доказать это, сравним модули этих сил для двух электронов и двух протонов.

Дано:

Масса электрона $m_e = 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг
Масса протона $m_p = 1,67 \cdot 10^{-27}$ кг
Модуль заряда электрона и протона (элементарный заряд) $e = 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Гравитационная постоянная $G \approx 6,67 \cdot 10^{-11}$ Н·м²/кг²
Коэффициент в законе Кулона $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл²

Найти:

Отношение модуля электростатической силы к модулю гравитационной силы для двух электронов: $\frac{F_{э(e)}}{F_{г(e)}}$
Отношение модуля электростатической силы к модулю гравитационной силы для двух протонов: $\frac{F_{э(p)}}{F_{г(p)}}$

Решение:

Модуль электростатической силы взаимодействия (сила Кулона) между двумя точечными зарядами $q_1$ и $q_2$, находящимися на расстоянии $r$ друг от друга, определяется по формуле:

$F_э = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Модуль силы гравитационного взаимодействия между двумя телами массами $m_1$ и $m_2$ на том же расстоянии $r$ определяется по закону всемирного тяготения:

$F_г = G \frac{m_1 m_2}{r^2}$

Найдем отношение этих сил:

$\frac{F_э}{F_г} = \frac{k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}}{G \frac{m_1 m_2}{r^2}} = \frac{k |q_1 q_2|}{G m_1 m_2}$

Как видно из формулы, это отношение не зависит от расстояния $r$ между частицами.

(а) Для двух электронов:

Заряды $q_1 = q_2 = -e$, поэтому $|q_1 q_2| = e^2$. Массы $m_1 = m_2 = m_e$.

$\frac{F_{э(e)}}{F_{г(e)}} = \frac{k e^2}{G m_e^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19})^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (9,11 \cdot 10^{-31})^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2,56 \cdot 10^{-38}}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 83,0 \cdot 10^{-62}} = \frac{23,04 \cdot 10^{-29}}{553,6 \cdot 10^{-73}} \approx 0,0416 \cdot 10^{44} \approx 4,2 \cdot 10^{42}$

Ответ: Модуль электростатической силы взаимодействия двух электронов превышает модуль силы их гравитационного взаимодействия примерно в $4,2 \cdot 10^{42}$ раз.

(б) Для двух протонов:

Заряды $q_1 = q_2 = e$, поэтому $|q_1 q_2| = e^2$. Массы $m_1 = m_2 = m_p$.

$\frac{F_{э(p)}}{F_{г(p)}} = \frac{k e^2}{G m_p^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot (1,6 \cdot 10^{-19})^2}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot (1,67 \cdot 10^{-27})^2} = \frac{9 \cdot 10^9 \cdot 2,56 \cdot 10^{-38}}{6,67 \cdot 10^{-11} \cdot 2,79 \cdot 10^{-54}} = \frac{23,04 \cdot 10^{-29}}{18,6 \cdot 10^{-65}} \approx 1,24 \cdot 10^{36}$

Ответ: Модуль электростатической силы взаимодействия двух протонов превышает модуль силы их гравитационного взаимодействия примерно в $1,2 \cdot 10^{36}$ раз.

Таким образом, расчеты показывают, что электростатическое взаимодействие между элементарными частицами на десятки порядков (в $10^{36}$ - $10^{42}$ раз) сильнее гравитационного. Вклад гравитационной силы в общее взаимодействие настолько мал, что им можно полностью пренебречь без потери точности при решении большинства задач.