Номер 4, страница 101 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 3. Динамика. Параграф 19. Силы трения. Задания и упражнения - номер 4, страница 101.

Условие.

* 4. Брусок массой $\text{m}$ соскальзывает с вершины наклонной плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$ (рис. 73). За время, равное $\text{t}$, он достигает основания наклонной плоскости. Найдите модуль скорости $\text{v}$ бруска у основания наклонной плоскости, если коэффициент трения бруска о плоскость равен $\mu$.

Рис. 73

Решение.

Дано:

Масса бруска: $\text{m}$
Угол наклона плоскости: $\alpha$
Время движения: $\text{t}$
Коэффициент трения: $\mu$
Начальная скорость: $v_0 = 0$

Найти:

Модуль скорости у основания: $\text{v}$

Решение:

На брусок, соскальзывающий с наклонной плоскости, действуют три силы: сила тяжести $\vec{F}_{\text{т}} = m\vec{g}$, сила нормальной реакции опоры $\vec{N}$ и сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$.

Выберем систему координат, как показано на рисунке: ось $OX$ направим вдоль наклонной плоскости вниз, а ось $OY$ – перпендикулярно наклонной плоскости вверх. Брусок движется с ускорением $\vec{a}$, направленным вдоль оси $OX$.

Согласно второму закону Ньютона, равнодействующая всех сил, приложенных к телу, равна произведению массы тела на его ускорение:

$m\vec{a} = \vec{F}_{\text{т}} + \vec{N} + \vec{F}_{\text{тр}}$

Запишем это уравнение в проекциях на оси координат.

Проекция на ось $OY$:

Движения вдоль оси $OY$ нет, поэтому сумма проекций сил на эту ось равна нулю. Сила $\vec{N}$ направлена вдоль оси $OY$. Сила $\vec{F}_{\text{тр}}$ перпендикулярна оси $OY$. Проекция силы тяжести на ось $OY$ равна $F_{\text{тy}} = -mg \cos(\alpha)$.

$OY: N - mg \cos(\alpha) = 0$

Отсюда находим модуль силы нормальной реакции опоры:

$N = mg \cos(\alpha)$

Проекция на ось $OX$:

Сила трения $\vec{F}_{\text{тр}}$ направлена против движения, то есть против оси $OX$, её проекция равна $-F_{\text{тр}}$. Сила $\vec{N}$ перпендикулярна оси $OX$. Проекция силы тяжести на ось $OX$ равна $F_{\text{тx}} = mg \sin(\alpha)$. Ускорение $\vec{a}$ направлено вдоль оси $OX$.

$OX: mg \sin(\alpha) - F_{\text{тр}} = ma$

Сила трения скольжения связана с силой нормальной реакции опоры соотношением:

$F_{\text{тр}} = \mu N$

Подставим в это выражение найденное значение $\text{N}$:

$F_{\text{тр}} = \mu mg \cos(\alpha)$

Теперь подставим выражение для силы трения в уравнение для оси $OX$:

$mg \sin(\alpha) - \mu mg \cos(\alpha) = ma$

Сократив массу $\text{m}$, найдем ускорение бруска:

$a = g \sin(\alpha) - \mu g \cos(\alpha) = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$

Поскольку брусок соскальзывает с вершины, его начальная скорость $v_0 = 0$. Движение является равноускоренным. Скорость тела при равноускоренном движении определяется по формуле:

$v = v_0 + at$

Подставив $v_0 = 0$ и найденное выражение для ускорения $\text{a}$, получим конечную скорость $\text{v}$ через время $\text{t}$:

$v = at = g(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha)) \cdot t$

Ответ: $v = gt(\sin(\alpha) - \mu \cos(\alpha))$