История развития физики, страница 107 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Механика. Глава 4. Законы сохранения в механике. Параграф 20. Импульс тела и второй закон Ньютона. Вопросы - страница 107.

Условие.

Из истории развития физики

В книге И. Ньютона «Математические начала натуральной философии» приводится следующая формулировка второго закона: «Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует».

а) Запишите формулу второго закона, используя формулировку Ньютона.

б) Можно ли использовать формулу второго закона, предложенную Ньютоном, и формулу $\vec{F} = m\vec{a}$ при решении следующей задачи? Тело массой $\text{m}$ движется из состояния покоя в инерциальной системе отсчёта под действием постоянной силы $\vec{F}$. Найдите модуль ускорения движения тела. Модуль скорости движения тела значительно меньше модуля скорости света.

Указание. Предположите, что в условии задачи указано, что тело с переменной массой $\Delta m$, например ракета, движется под действием постоянной силы $\vec{F}$. Можно ли в этом случае использовать формулу $\vec{F} = m\vec{a}$ для определения модуля ускорения тела? Почему?

Решение.

а) В формулировке Ньютона «количество движения» — это то, что в современной физике называют импульсом тела. Импульс $ \vec{p} $ определяется как произведение массы тела $\text{m}$ на его скорость $ \vec{v} $: $ \vec{p} = m\vec{v} $.

«Изменение количества движения» в данном контексте следует понимать как скорость изменения импульса, то есть его производную по времени, $ \frac{d\vec{p}}{dt} $.

Фраза «пропорционально приложенной движущей силе» означает, что сила $ \vec{F} $ равна скорости изменения импульса (в системе СИ коэффициент пропорциональности равен единице).

Таким образом, второй закон Ньютона в его исходной, наиболее общей формулировке, записывается как:

$ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $

Если масса тела $\text{m}$ постоянна ($ m = const $), то её можно вынести за знак производной: $ \vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = m\frac{d\vec{v}}{dt} $. Поскольку производная скорости по времени — это ускорение ($ \vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} $), мы получаем более известную, но частную формулу $ \vec{F} = m\vec{a} $.

Ответ: $ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $.

б) Да, при решении указанной задачи можно использовать обе формулы. В условии задачи сказано, что тело имеет массу $\text{m}$, которая в данном контексте является постоянной величиной. Как показано в пункте а), для тела с постоянной массой общая формулировка второго закона Ньютона ($ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $) сводится к формуле $ \vec{F} = m\vec{a} $. Следовательно, обе формулы эквивалентны и дадут одинаковый результат.

Решим задачу:

Дано:

Масса тела: $m = const$

Начальная скорость: $v_0 = 0$

Действующая сила: $ \vec{F} = const $

Найти:

Модуль ускорения тела: $\text{a}$

Решение:

Используем второй закон Ньютона в форме $ \vec{F} = m\vec{a} $. Выразим из этой формулы вектор ускорения:

$ \vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} $

Модуль ускорения равен отношению модуля силы к массе тела:

$ a = \frac{F}{m} $

Ответ на вопрос из указания:

В случае, если масса тела переменна ($ m = m(t) $), например, у ракеты, которая сжигает топливо, использовать формулу $ \vec{F} = m\vec{a} $ для определения ускорения нельзя.

Это связано с тем, что необходимо использовать общую формулировку второго закона Ньютона $ \vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt} $. Применяя правило дифференцирования произведения к импульсу $ \vec{p} = m(t)\vec{v}(t) $, получаем:

$ \vec{F} = \frac{d(m\vec{v})}{dt} = \frac{dm}{dt}\vec{v} + m\frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{dm}{dt}\vec{v} + m\vec{a} $

Это выражение (уравнение Мещерского) показывает, что сила $ \vec{F} $ расходуется не только на придание телу ускорения ($ m\vec{a} $), но и на изменение импульса за счет изменения массы ($ \frac{dm}{dt}\vec{v} $). Таким образом, формула $ \vec{F} = m\vec{a} $ является неполной и неприменимой для тел с переменной массой.

Ответ: Да, для тела с постоянной массой можно использовать обе формулы, они эквивалентны. Модуль ускорения тела $ a = \frac{F}{m} $. Нет, для тела с переменной массой (ракета) формулу $ \vec{F} = m\vec{a} $ использовать нельзя, так как она не учитывает изменение импульса, связанное с изменением массы тела.