Номер 5, страница 304 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 11. Электромагнитное поле. Напряжённость электростатического поля. Параграф 54. Принцип суперпозиции электростатических полей. Задания и упражнения - номер 5, страница 304.

Условие.

*5. Четыре одинаковых по модулю точечных заряда $\text{q}$ расположены в вершинах квадрата (рис. 229). Два из них заряжены положительно, а два других — отрицательно. Расстояние от вершин до центра квадрата равно $\text{r}$. Определите модуль напряжённости $\text{E}$ электростатического поля в центре квадрата.

Рис. 229

Решение.

Дано:

Четыре точечных заряда, расположенные в вершинах квадрата.

Величина зарядов по модулю: $\text{q}$

Знаки зарядов: $q_1 = -q$, $q_2 = +q$, $q_3 = +q$, $q_4 = -q$

Расстояние от каждой вершины до центра квадрата: $\text{r}$

Найти:

Модуль напряжённости электростатического поля в центре квадрата: $\text{E}$

Решение:

Согласно принципу суперпозиции полей, напряжённость результирующего поля в центре квадрата равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых каждым из четырёх зарядов:

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2 + \vec{E}_3 + \vec{E}_4$

Модуль напряжённости поля, создаваемого точечным зарядом, определяется по формуле $E = k \frac{|q|}{R^2}$, где $\text{k}$ – коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $|q|$ – модуль заряда, а $\text{R}$ – расстояние от заряда до точки, в которой определяется поле. В нашем случае $R=r$.

Так как все заряды по модулю одинаковы ($\text{q}$) и находятся на одинаковом расстоянии ($\text{r}$) от центра квадрата, то модули напряжённостей, создаваемых каждым зарядом, также будут одинаковы:

$E_1 = E_2 = E_3 = E_4 = k \frac{q}{r^2}$

Определим направления векторов напряжённости в центре квадрата:

• Вектор $\vec{E}_1$ от отрицательного заряда $q_1$ направлен к этому заряду (к вершине 1).

• Вектор $\vec{E}_2$ от положительного заряда $q_2$ направлен от этого заряда (от вершины 2).

• Вектор $\vec{E}_3$ от положительного заряда $q_3$ направлен от этого заряда (от вершины 3).

• Вектор $\vec{E}_4$ от отрицательного заряда $q_4$ направлен к этому заряду (к вершине 4).

Для нахождения результирующего вектора $\vec{E}$ удобно сложить векторы попарно. Сложим поля от зарядов, расположенных на одной диагонали.

Рассмотрим диагональ, соединяющую вершины 1 и 3. Вектор $\vec{E}_1$ направлен к вершине 1, а вектор $\vec{E}_3$ направлен от вершины 3. Таким образом, оба вектора лежат на одной прямой и направлены в одну сторону (вдоль диагонали от вершины 3 к вершине 1). Их сумма $\vec{E}_{13} = \vec{E}_1 + \vec{E}_3$ будет вектором, направленным туда же, с модулем:

$E_{13} = E_1 + E_3 = k \frac{q}{r^2} + k \frac{q}{r^2} = 2k \frac{q}{r^2}$

Теперь рассмотрим диагональ, соединяющую вершины 2 и 4. Вектор $\vec{E}_2$ направлен от вершины 2, а вектор $\vec{E}_4$ направлен к вершине 4. Эти векторы также лежат на одной прямой и сонаправлены (вдоль диагонали от вершины 2 к вершине 4). Их сумма $\vec{E}_{24} = \vec{E}_2 + \vec{E}_4$ будет вектором, направленным туда же, с модулем:

$E_{24} = E_2 + E_4 = k \frac{q}{r^2} + k \frac{q}{r^2} = 2k \frac{q}{r^2}$

Итоговый вектор напряжённости $\vec{E}$ является суммой векторов $\vec{E}_{13}$ и $\vec{E}_{24}$. Эти два вектора лежат на диагоналях квадрата, которые взаимно перпендикулярны. Модуль их суммы можно найти по теореме Пифагора:

$E = \sqrt{E_{13}^2 + E_{24}^2}$

Поскольку $E_{13} = E_{24}$, получаем:

$E = \sqrt{(2k \frac{q}{r^2})^2 + (2k \frac{q}{r^2})^2} = \sqrt{2 \cdot (2k \frac{q}{r^2})^2} = \sqrt{2} \cdot 2k \frac{q}{r^2} = 2\sqrt{2}k \frac{q}{r^2}$

Коэффициент $\text{k}$ можно выразить через электрическую постоянную $\epsilon_0$ как $k = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}$. Тогда выражение для напряжённости примет вид:

$E = 2\sqrt{2} \cdot \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{r^2} = \frac{\sqrt{2}q}{2\pi\epsilon_0 r^2}$

Ответ: $E = 2\sqrt{2}k \frac{q}{r^2}$ (или $E = \frac{\sqrt{2}q}{2\pi\epsilon_0 r^2}$).