Номер 6, страница 303 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 11. Электромагнитное поле. Напряжённость электростатического поля. Параграф 54. Принцип суперпозиции электростатических полей. Вопросы - номер 6, страница 303.

Условие.

6. При каких условиях модуль напряжённости поля, созданного системой из двух точечных зарядов, в точке A (см. рис. 225) равен $E = k \frac{q}{r^2}$?

Решение.

Решение

Напряженность электрического поля $\vec{E}$, созданного системой из двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$ в некоторой точке пространства А, определяется по принципу суперпозиции. Она равна векторной сумме напряженностей полей $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$, создаваемых в этой точке каждым зарядом в отдельности:

$\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$

Модули напряженностей от каждого заряда равны $E_1 = k \frac{|q_1|}{r_1^2}$ и $E_2 = k \frac{|q_2|}{r_2^2}$, где $r_1$ и $r_2$ — расстояния от зарядов $q_1$ и $q_2$ до точки А соответственно, а $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности.

Модуль результирующего вектора напряженности $|\vec{E}|$ можно найти, используя теорему косинусов для векторов:

$|\vec{E}|^2 = E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos\theta$

где $\theta$ — угол между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$.

Вопрос состоит в том, при каких условиях модуль напряженности $|\vec{E}|$ равен величине $E = k \frac{q}{r^2}$. Эта формула по своей структуре идентична формуле напряженности поля одного точечного заряда. Логично предположить, что в задаче требуется найти условия, при которых модуль суммарного поля равен модулю поля, создаваемого одним из зарядов системы, например, первым: $|\vec{E}| = E_1$.

Подставим это требование в формулу для квадрата модуля результирующего поля:

$E_1^2 = E_1^2 + E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos\theta$

Вычитая $E_1^2$ из обеих частей, получаем:

$0 = E_2^2 + 2 E_1 E_2 \cos\theta$

Вынесем $E_2$ за скобки:

$E_2 (E_2 + 2 E_1 \cos\theta) = 0$

Это уравнение справедливо в двух случаях.

Первое условие (тривиальное)

Первый множитель равен нулю: $E_2 = 0$. Это означает, что поле, создаваемое вторым зарядом в точке А, равно нулю. Для точечного заряда это возможно только в том случае, если его величина равна нулю: $q_2 = 0$. В этой ситуации система фактически состоит из одного заряда $q_1$, и модуль напряженности поля, очевидно, будет равен $E_1$.

Второе условие (нетривиальное)

Второй множитель равен нулю: $E_2 + 2 E_1 \cos\theta = 0$. Это общее условие для случая, когда оба заряда отличны от нуля. Его можно переписать в виде:

$\cos\theta = -\frac{E_2}{2E_1}$

Поскольку значение косинуса не может быть меньше –1 и больше 1, это условие может выполняться только при $E_2 \le 2E_1$. Рассмотрим несколько наглядных частных случаев, удовлетворяющих этому общему условию.

Случай а) Равенство модулей полей.Если модули полей, создаваемых зарядами в точке А, равны ($E_1 = E_2$), то общее условие принимает вид $E_1 + 2 E_1 \cos\theta = 0$, откуда $1 + 2\cos\theta = 0$ и $\cos\theta = -1/2$. Это соответствует углу между векторами $\theta = 120^\circ$.Таким образом, если модули напряженностей от двух зарядов в точке А равны ($|q_1|/r_1^2 = |q_2|/r_2^2$), а угол между векторами полей $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ составляет $120^\circ$, то модуль результирующей напряженности будет равен $E_1$.

Случай б) Противоположно направленные поля.Если векторы напряженности $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены в противоположные стороны, то угол между ними $\theta = 180^\circ$, и $\cos\theta = -1$.Общее условие принимает вид $E_2 + 2 E_1 (-1) = 0$, откуда $E_2 = 2E_1$.Таким образом, если поля в точке А направлены противоположно, и модуль поля от второго заряда вдвое больше модуля поля от первого ($|q_2|/r_2^2 = 2|q_1|/r_1^2$), то модуль результирующей напряженности будет равен $|E_2 - E_1| = |2E_1 - E_1| = E_1$.

Ответ:Модуль напряжённости поля, созданного системой из двух точечных зарядов $q_1$ и $q_2$ в точке А, равен $E = k \frac{|q_1|}{r_1^2}$ (то есть равен модулю напряженности поля от одного из зарядов) при выполнении одного из следующих условий:
1. Второй заряд равен нулю ($q_2 = 0$).
2. Если оба заряда ненулевые, должно выполняться общее соотношение $E_2 = -2E_1 \cos\theta$, где $E_1$ и $E_2$ — модули напряженностей полей от каждого заряда, а $\theta$ — угол между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$. В частности, это условие выполняется, если:
- модули напряженностей от каждого из зарядов в точке А равны ($E_1=E_2$), а угол между векторами напряженности составляет $120^\circ$;
- векторы напряженности в точке А направлены в противоположные стороны ($\theta=180^\circ$), а модуль напряженности поля второго заряда в два раза больше модуля поля первого ($E_2=2E_1$).