Номер 4, страница 304 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 11. Электромагнитное поле. Напряжённость электростатического поля. Параграф 54. Принцип суперпозиции электростатических полей. Задания и упражнения - номер 4, страница 304.

Условие.

4. Найдите модуль напряжённости электростатического поля в точке $\text{C}$, находящейся на одинаковом расстоянии $r = 0,8$ см от точечных зарядов $q_1 = 4$ нКл и $q_2 = -4$ нКл. Расстояние между зарядами равно 0,8 см.

Решение.

Дано:

$r = 0,8 \text{ см} = 8 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

$q_1 = 4 \text{ нКл} = 4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

$q_2 = -4 \text{ нКл} = -4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$

Расстояние между зарядами $d = 0,8 \text{ см} = 8 \cdot 10^{-3} \text{ м}$

Электрическая постоянная $k = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$

Найти:

$E_C$

Решение:

Поскольку расстояние от точки $\text{C}$ до каждого из зарядов ($\text{r}$) равно расстоянию между самими зарядами ($\text{d}$), то заряды $q_1$, $q_2$ и точка $\text{C}$ образуют равносторонний треугольник со стороной $a = r = d = 0,8 \text{ см}$.

Напряженность электростатического поля в точке $\text{C}$ находится по принципу суперпозиции полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: $\vec{E}_C = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Модуль напряженности поля, создаваемого точечным зарядом, вычисляется по формуле: $E = k \frac{|q|}{r^2}$.

Так как модули зарядов равны ($|q_1| = |q_2| = |q|$) и расстояния до точки $\text{C}$ одинаковы, то модули напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом, также равны:

$E_1 = E_2 = E = k \frac{|q|}{r^2}$

Вектор напряженности $\vec{E}_1$ от положительного заряда $q_1$ направлен от заряда вдоль линии, соединяющей $q_1$ и $\text{C}$. Вектор $\vec{E}_2$ от отрицательного заряда $q_2$ направлен к заряду вдоль линии, соединяющей $\text{C}$ и $q_2$. Угол между этими двумя линиями в вершине $\text{C}$ равностороннего треугольника равен $60^\circ$. Однако угол $\theta$ между векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ составляет $120^\circ$.

Модуль результирующего вектора напряженности $E_C$ найдем по теореме косинусов для векторов:

$E_C = \sqrt{E_1^2 + E_2^2 + 2E_1E_2\cos\theta}$

Подставляя $E_1 = E_2 = E$ и $\theta = 120^\circ$ (так как $\cos120^\circ = -0,5$), получаем:

$E_C = \sqrt{E^2 + E^2 + 2E \cdot E \cdot \cos120^\circ} = \sqrt{2E^2 + 2E^2(-0,5)} = \sqrt{2E^2 - E^2} = \sqrt{E^2} = E$.

Таким образом, модуль результирующей напряженности равен модулю напряженности поля, создаваемого одним из зарядов.

Выполним вычисления:

$E_C = E = k \frac{|q_1|}{r^2} = 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2} \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}}{(8 \cdot 10^{-3} \text{ м})^2} = 9 \cdot 10^9 \cdot \frac{4 \cdot 10^{-9}}{64 \cdot 10^{-6}} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}}$

$E_C = \frac{36}{64 \cdot 10^{-6}} \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 0,5625 \cdot 10^6 \frac{\text{Н}}{\text{Кл}} = 562500 \frac{\text{В}}{\text{м}}$

Представим ответ в более удобном виде:

$E_C = 562,5 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$

Ответ: Модуль напряженности электростатического поля в точке C равен $562,5 \frac{\text{кВ}}{\text{м}}$.