Номер 1, страница 304 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 11. Электромагнитное поле. Напряжённость электростатического поля. Параграф 54. Принцип суперпозиции электростатических полей. Задания и упражнения - номер 1, страница 304.

Условие.

1. Найдите модуль напряжённости электростатического поля в точке B, равноудалённой от двух одинаковых положительных точечных зарядов.

Решение.

1. Решение

Согласно принципу суперпозиции электростатических полей, напряжённость поля в некоторой точке, создаваемого системой зарядов, равна векторной сумме напряжённостей полей, создаваемых в этой же точке каждым из зарядов в отдельности: $\vec{E} = \vec{E}_1 + \vec{E}_2$.

Пусть в пространстве находятся два одинаковых положительных точечных заряда $q_1 = q_2 = q$ ($q > 0$). Точка $\text{B}$ находится на одинаковом расстоянии $\text{r}$ от каждого из зарядов.

Модуль напряжённости поля, создаваемого каждым зарядом в точке $\text{B}$, одинаков и вычисляется по формуле:

$|\vec{E}_1| = |\vec{E}_2| = E_1 = k \frac{q}{r^2}$

где $\text{k}$ — коэффициент пропорциональности в законе Кулона ($k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}$).

Векторы напряжённости $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ направлены от положительных зарядов $q_1$ и $q_2$ соответственно, вдоль прямых, соединяющих заряды с точкой $\text{B}$.

Для нахождения результирующей напряжённости $\vec{E}$ необходимо векторно сложить $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$. Это можно сделать по правилу параллелограмма. Заряды $q_1$, $q_2$ и точка $\text{B}$ образуют равнобедренный треугольник. В силу симметрии, результирующий вектор $\vec{E}$ будет направлен по биссектрисе угла, образованного векторами $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$, которая также является серединным перпендикуляром к отрезку, соединяющему заряды.

Найдём модуль вектора $\vec{E}$, спроецировав векторы $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ на направление результирующего вектора $\vec{E}$. Пусть $\alpha$ — угол между направлением вектора $\vec{E}$ и направлением каждого из векторов $\vec{E}_1$ и $\vec{E}_2$ (углы одинаковы из-за симметрии). Тогда модуль результирующей напряжённости будет равен сумме проекций:

$E_B = E_1 \cos \alpha + E_2 \cos \alpha$

Так как $E_1 = E_2$, получаем:

$E_B = 2 E_1 \cos \alpha$

Подставив выражение для $E_1$, получим окончательную формулу для модуля напряжённости в точке $\text{B}$:

$E_B = 2 k \frac{q}{r^2} \cos \alpha$

Ответ: Модуль напряжённости электростатического поля в точке $\text{B}$ определяется по формуле $E_B = 2 k \frac{q}{r^2} \cos \alpha$, где $\text{q}$ — величина каждого из одинаковых положительных зарядов, $\text{r}$ — расстояние от каждого заряда до точки $\text{B}$, $\alpha$ — угол между направлением результирующего поля и направлением поля, создаваемого в точке $\text{B}$ одним из зарядов, $\text{k}$ — постоянная Кулона.