Номер 1, страница 342 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 12. Разность потенциалов. Энергия электростатического поля. Параграф 62. Электрическая ёмкость. Конденсаторы. Задания и упражнения - номер 1, страница 342.

Условие.

1. Радиус уединённой заряженной сферы равен 5 см. Найдите ёмкость сферы, находящейся в вакууме. Как изменится ёмкость этой сферы, если её поместить в глицерин?

Решение.

Дано:

Радиус уединённой сферы, $R = 5$ см.

Среда 1: вакуум (диэлектрическая проницаемость $\epsilon_1 = 1$).

Среда 2: глицерин (диэлектрическая проницаемость $\epsilon_2 \approx 43$, является справочным значением).

Электрическая постоянная, $\epsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м.

Коэффициент пропорциональности в законе Кулона, $k \approx 9 \cdot 10^9$ Н·м²/Кл².

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

1. Ёмкость сферы в вакууме $C_{вак}$.

2. Как изменится ёмкость при помещении в глицерин (найти $C_{глиц}$ и отношение $\frac{C_{глиц}}{C_{вак}}$).

Решение:

Найдите ёмкость сферы, находящейся в вакууме.

Электроёмкость уединённой проводящей сферы радиусом $\text{R}$ в вакууме определяется по формуле:

$C_{вак} = 4 \pi \epsilon_0 R$

Для удобства расчётов можно воспользоваться формулой, выраженной через коэффициент $k = \frac{1}{4 \pi \epsilon_0}$:

$C_{вак} = \frac{R}{k}$

Подставим числовые значения величин в системе СИ:

$C_{вак} = \frac{0.05 \text{ м}}{9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}} \approx 0.00556 \cdot 10^{-9} \text{ Ф} = 5.56 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

Так как $1 \text{ пикофарад (пФ)} = 10^{-12} \text{ Ф}$, то ёмкость сферы равна:

$C_{вак} \approx 5.56 \text{ пФ}$

Ответ: Ёмкость сферы в вакууме составляет примерно 5.56 пФ.

Как изменится ёмкость этой сферы, если её поместить в глицерин?

При помещении проводника в однородную диэлектрическую среду с диэлектрической проницаемостью $\epsilon$, его электроёмкость увеличивается в $\epsilon$ раз по сравнению с ёмкостью в вакууме.

$C_{среды} = \epsilon \cdot C_{вак}$

Диэлектрическая проницаемость глицерина (справочное значение) составляет $\epsilon \approx 43$.

Следовательно, ёмкость сферы при помещении в глицерин увеличится в 43 раза.

$\frac{C_{глиц}}{C_{вак}} = \epsilon \approx 43$

Рассчитаем новое значение ёмкости:

$C_{глиц} = \epsilon \cdot C_{вак} \approx 43 \cdot 5.56 \cdot 10^{-12} \text{ Ф} \approx 239.08 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

Округляя, получаем:

$C_{глиц} \approx 239 \text{ пФ}$

Ответ: При помещении в глицерин ёмкость сферы увеличится примерно в 43 раза и станет равной приблизительно 239 пФ.