Номер 3, страница 342 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 12. Разность потенциалов. Энергия электростатического поля. Параграф 62. Электрическая ёмкость. Конденсаторы. Задания и упражнения - номер 3, страница 342.

Условие.

3. Площадь пластин плоского воздушного конденсатора равна 1 см², а его ёмкость — 12 пФ. При напряжённости электростатического поля 3 МВ/м возникает пробой между обкладками конденсатора. Найдите напряжение между обкладками конденсатора, при котором возникает пробой.

Решение.

Дано:

Площадь пластин плоского воздушного конденсатора, $S = 1 \text{ см}^2$

Ёмкость конденсатора, $C = 12 \text{ пФ}$

Напряжённость электростатического поля, при которой возникает пробой, $E_{пробой} = 3 \text{ МВ/м}$

Диэлектрическая проницаемость воздуха, $\epsilon \approx 1$

Электрическая постоянная, $\epsilon_0 \approx 8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}$

$S = 1 \text{ см}^2 = 1 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2$

$C = 12 \text{ пФ} = 12 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}$

$E_{пробой} = 3 \text{ МВ/м} = 3 \cdot 10^6 \text{ В/м}$

Найти:

Напряжение пробоя, $U_{пробой}$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся двумя основными формулами, описывающими плоский конденсатор: формулой ёмкости и формулой связи напряжения с напряжённостью поля.

1. Ёмкость плоского конденсатора определяется выражением:

$C = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{d}$

где $\text{C}$ – ёмкость, $\epsilon$ – диэлектрическая проницаемость среды между пластинами (для воздушного конденсатора $\epsilon \approx 1$), $\epsilon_0$ – электрическая постоянная, $\text{S}$ – площадь пластин, $\text{d}$ – расстояние между пластинами.

Из этой формулы мы можем выразить расстояние $\text{d}$ между обкладками конденсатора:

$d = \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{C}$

2. Для однородного электростатического поля, каким является поле внутри плоского конденсатора, напряжение $\text{U}$ (разность потенциалов) между обкладками связано с напряжённостью поля $\text{E}$ и расстоянием $\text{d}$ следующим соотношением:

$U = E \cdot d$

Пробой диэлектрика возникает, когда напряжённость поля достигает критического значения $E_{пробой}$. Искомое напряжение, при котором это произойдет, $U_{пробой}$, будет равно:

$U_{пробой} = E_{пробой} \cdot d$

Теперь подставим в эту формулу выражение для расстояния $\text{d}$, которое мы получили из формулы ёмкости:

$U_{пробой} = E_{пробой} \cdot \frac{\epsilon \epsilon_0 S}{C}$

Все величины в правой части уравнения нам известны. Подставим их числовые значения в системе СИ:

$U_{пробой} = (3 \cdot 10^6 \text{ В/м}) \cdot \frac{1 \cdot (8.85 \cdot 10^{-12} \text{ Ф/м}) \cdot (1 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2)}{12 \cdot 10^{-12} \text{ Ф}}$

Проведём вычисления. Можно заметить, что множитель $10^{-12}$ есть и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается:

$U_{пробой} = \frac{3 \cdot 10^6 \cdot 8.85 \cdot 10^{-4}}{12} \text{ В} = \frac{3 \cdot 8.85 \cdot 10^{6-4}}{12} \text{ В}$

$U_{пробой} = \frac{3 \cdot 8.85 \cdot 10^2}{12} \text{ В} = \frac{8.85 \cdot 100}{4} \text{ В}$

$U_{пробой} = \frac{885}{4} \text{ В} = 221.25 \text{ В}$

Ответ: напряжение между обкладками конденсатора, при котором возникает пробой, равно 221.25 В.