Теоретическое исследование, страница 344 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 12. Разность потенциалов. Энергия электростатического поля. Параграф 63. Энергия электростатического поля. Вопросы - страница 344.

Условие.

Теоретическое исследование

Батарея конденсаторов (рис. 268) состоит из двух последовательно соединённых конденсаторов 1 и 2. Если сообщить положительный заряд $\text{q}$ одной из пластин конденсатора, то вследствие электростатической индукции другие пластины конденсаторов будут иметь заряды, модули которых равны $\text{q}$. При этом напряжение (разность потенциалов) $\text{U}$ между выводами батареи конденсаторов равно сумме напряжений между пластинами каждого из них:

$U = U_1 + U_2$

Рис. 268

Используя формулу определения ёмкости плоского конденсатора, покажите, что ёмкость $\text{C}$ батареи, состоящей из двух последовательно соединённых конденсаторов с ёмкостями $C_1$ и $C_2$, может быть рассчитана по формуле: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$

Решение.

Дано:

Два конденсатора с ёмкостями $C_1$ и $C_2$, соединённые последовательно.
При последовательном соединении заряд $\text{q}$ на каждом конденсаторе одинаков.
Напряжение на первом конденсаторе – $U_1$.
Напряжение на втором конденсаторе – $U_2$.
Общее напряжение на батарее $\text{U}$ равно сумме напряжений на отдельных конденсаторах: $U = U_1 + U_2$.
Эквивалентная ёмкость батареи – $\text{C}$.

Найти:

Доказать, что ёмкость $\text{C}$ батареи можно рассчитать по формуле: $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.

Решение:

По определению, электрическая ёмкость конденсатора – это отношение заряда на одной из его пластин к разности потенциалов (напряжению) между пластинами:
$C = \frac{q}{U}$
Из этой формулы можно выразить напряжение на конденсаторе:
$U = \frac{q}{C}$
Применим эту формулу для каждого из двух конденсаторов, учитывая, что при последовательном соединении их заряды равны $\text{q}$:
Напряжение на первом конденсаторе: $U_1 = \frac{q}{C_1}$.
Напряжение на втором конденсаторе: $U_2 = \frac{q}{C_2}$.
Общее напряжение $\text{U}$ на всей батарее, согласно условию, является суммой напряжений на каждом конденсаторе:
$U = U_1 + U_2$
Подставим в это равенство выражения для $U_1$ и $U_2$:
$U = \frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2}$
В то же время, общее напряжение $\text{U}$ на батарее можно выразить через её эквивалентную ёмкость $\text{C}$ и общий заряд $\text{q}$:
$U = \frac{q}{C}$
Теперь приравняем два полученных выражения для общего напряжения $\text{U}$:
$\frac{q}{C} = \frac{q}{C_1} + \frac{q}{C_2}$
В правой части уравнения вынесем общий множитель $\text{q}$ за скобки:
$\frac{q}{C} = q \left( \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \right)$
Поскольку заряд $\text{q}$ не равен нулю, мы можем сократить его в обеих частях уравнения. В результате получаем искомую формулу для расчёта эквивалентной ёмкости двух последовательно соединённых конденсаторов:
$\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$
Таким образом, формула доказана.

Ответ: Доказано, что ёмкость $\text{C}$ батареи, состоящей из двух последовательно соединённых конденсаторов с ёмкостями $C_1$ и $C_2$, рассчитывается по формуле $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$.