Теоретическое исследование, страница 341 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 12. Разность потенциалов. Энергия электростатического поля. Параграф 62. Электрическая ёмкость. Конденсаторы. Вопросы - страница 341.

Условие.

Теоретическое исследование

Простейшая батарея конденсаторов (рис. 266) состоит из двух параллельно соединённых конденсаторов 1 и 2. При этом модуль заряда первого конденсатора равен $q_1$, модуль заряда второго конденсатора – $q_2$ ($q_1 = q_2$). Напряжение (разность потенциалов) $\text{U}$ между выводами батареи одинаково:

$U = \frac{q_1}{C_1} = \frac{q_2}{C_2}$ (1)

Из закона сохранения заряда следует, что заряд батареи $\text{q}$ равен сумме зарядов конденсаторов:

$q = q_1 + q_2$ (2)

Используя формулу определения ёмкости уединённого проводника, выражения (1) и (2), покажите, что ёмкость батареи, состоящей из двух параллельно соединённых конденсаторов, равна сумме ёмкостей этих конденсаторов: $C = C_1 + C_2$.

Рис. 266

Решение.

Дано:

Два конденсатора с ёмкостями $C_1$ и $C_2$ соединены параллельно.

Напряжение на выводах батареи одинаково для обоих конденсаторов:

$U = \frac{q_1}{C_1} = \frac{q_2}{C_2}$ (1)

Общий заряд батареи, согласно закону сохранения заряда, равен сумме зарядов конденсаторов:

$q = q_1 + q_2$ (2)

Определение ёмкости для всей батареи:

$C = \frac{q}{U}$

Найти:

Доказать, что общая ёмкость батареи $C = C_1 + C_2$.

Решение:

Воспользуемся формулой для определения ёмкости всей батареи конденсаторов:

$C = \frac{q}{U}$

Подставим в это выражение формулу для общего заряда $\text{q}$ из уравнения (2):

$C = \frac{q_1 + q_2}{U}$

Разделим числитель дроби на знаменатель:

$C = \frac{q_1}{U} + \frac{q_2}{U}$

Теперь обратимся к выражению (1). Из него следует, что напряжение $\text{U}$ на первом и втором конденсаторах одинаково. Мы можем выразить отношение заряда к напряжению для каждого конденсатора:

Из $U = \frac{q_1}{C_1}$ следует, что $\frac{q_1}{U} = C_1$.

Из $U = \frac{q_2}{C_2}$ следует, что $\frac{q_2}{U} = C_2$.

Подставим полученные выражения для $C_1$ и $C_2$ в формулу для общей ёмкости $\text{C}$:

$C = C_1 + C_2$

Таким образом, мы доказали, что ёмкость батареи, состоящей из двух параллельно соединённых конденсаторов, равна сумме их ёмкостей.

Ответ: $C = C_1 + C_2$.