Теоретическое исследование, страница 323 - гдз по физике 10 класс учебник Хижнякова, Синявина

Основы электродинамики. Глава 12. Разность потенциалов. Энергия электростатического поля. Параграф 58. Потенциал электростатического поля и разность потенциалов. Вопросы - страница 323.

Условие.

Теоретическое исследование

Пробный заряд перемещают в электростатическом поле, образованном положительным точечным зарядом, по замкнутой траектории 1-2-3-4-1 (рис. 247).

Покажите, что в этом случае работа сил электростатического поля равна нулю.

Рис. 247

Решение.

Дано:

Электростатическое поле, созданное положительным точечным зарядом $\text{Q}$.

Пробный заряд $q_0$.

Замкнутая траектория движения пробного заряда: 1-2-3-4-1.

Найти:

Доказать, что работа сил электростатического поля $\text{A}$ на замкнутой траектории равна нулю.

Решение:

Работа $\text{A}$ сил электростатического поля при перемещении пробного заряда $q_0$ из точки с потенциалом $\varphi_{нач}$ в точку с потенциалом $\varphi_{кон}$ вычисляется по формуле: $A = q_0 (\varphi_{нач} - \varphi_{кон})$.

Электростатическое поле, создаваемое точечным зарядом, является потенциальным (консервативным). Это означает, что работа сил поля не зависит от траектории перемещения заряда, а определяется только его начальным и конечным положением. Следствием этого является то, что работа по любой замкнутой траектории, где начальная и конечная точки совпадают ($\varphi_{нач} = \varphi_{кон}$), всегда равна нулю.

Докажем это строго для заданной траектории 1-2-3-4-1. Полная работа $\text{A}$ равна алгебраической сумме работ на отдельных участках пути:

$A = A_{1 \to 2} + A_{2 \to 3} + A_{3 \to 4} + A_{4 \to 1}$

Выразим работу на каждом участке через потенциалы в точках 1, 2, 3 и 4, которые мы обозначим как $\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3, \varphi_4$:

Работа на участке 1→2: $A_{1 \to 2} = q_0 (\varphi_1 - \varphi_2)$

Работа на участке 2→3: $A_{2 \to 3} = q_0 (\varphi_2 - \varphi_3)$

Работа на участке 3→4: $A_{3 \to 4} = q_0 (\varphi_3 - \varphi_4)$

Работа на участке 4→1: $A_{4 \to 1} = q_0 (\varphi_4 - \varphi_1)$

Теперь просуммируем эти работы, чтобы найти полную работу по замкнутому контуру:

$A = q_0 (\varphi_1 - \varphi_2) + q_0 (\varphi_2 - \varphi_3) + q_0 (\varphi_3 - \varphi_4) + q_0 (\varphi_4 - \varphi_1)$

Вынесем общий множитель $q_0$ за скобки:

$A = q_0 (\varphi_1 - \varphi_2 + \varphi_2 - \varphi_3 + \varphi_3 - \varphi_4 + \varphi_4 - \varphi_1)$

Все члены в скобках попарно сокращаются:

$A = q_0 \cdot 0 = 0$

Таким образом, мы доказали, что работа сил электростатического поля при перемещении заряда по замкнутому контуру равна нулю.

Ответ:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по замкнутой траектории $A = A_{1 \to 2} + A_{2 \to 3} + A_{3 \to 4} + A_{4 \to 1} = q_0 (\varphi_1 - \varphi_2) + q_0 (\varphi_2 - \varphi_3) + q_0 (\varphi_3 - \varphi_4) + q_0 (\varphi_4 - \varphi_1) = q_0 (\varphi_1 - \varphi_1) = 0$. Это справедливо, поскольку электростатическое поле является потенциальным, и работа в таком поле по любому замкнутому контуру равна нулю.