Проектная деятельность, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

Изготовьте приспособление, позволяющее моделировать траектории тел, движущихся под различными углами к горизонту. Для этого возьмите линейку из дерева или пластмассы (длиной не менее 30 см) и просверлите в ней одинаковые отверстия с шагом 2 см (шаг пропорционален времени движения $\text{t}$). В получившиеся отверстия вставьте нити длиной, пропорциональной квадрату времени $t^2$. Для того чтобы нити были прямыми, на их концы подвесьте шарики (см. рис.). Это устройство поможет вам исследовать траектории тел, летящих под различными углами к горизонту.

Закрепите в штативе планку с шариками, например, под углом 45°. Положения шариков фактически покажут места, в которых тело окажется через равные промежутки времени в процессе полёта.

По положению шарика, размещённого в самой высокой точке, можно узнать максимальную высоту подъёма тела. Изменив наклон устройства, можно установить угол, при котором тело дальше всего переместится по горизонтали.

Объяснение принципа работы устройства

Представленное устройство является наглядной физической моделью, демонстрирующей траекторию тела, брошенного под углом к горизонту. Принцип его работы основан на принципе независимости движений. Движение тела в поле тяжести можно представить как сумму двух независимых движений:

1. Равномерное прямолинейное движение с начальной скоростью $v_0$ вдоль направления броска (под углом $\alpha$ к горизонту). В отсутствие гравитации тело двигалось бы по прямой.

2. Равноускоренное падение под действием силы тяжести, направленное вертикально вниз.

В предложенной модели эти два движения наглядно разделены:

• Линейка, установленная под углом $\alpha$, моделирует траекторию движения тела в отсутствие гравитации. Отверстия, просверленные с одинаковым шагом $\Delta l$, отмечают положения тела через равные промежутки времени. Если расстояние от точки опоры до $\text{n}$-го отверстия равно $l_n = n \cdot \Delta l$, и это расстояние пропорционально времени $t_n$ ($l_n \propto t_n$), то это соответствует движению с постоянной скоростью вдоль линейки. Можно положить $l(t) = v_0 t$, где $v_0$ — аналог начальной скорости. Положение $\text{n}$-го отверстия в системе координат, где ось $\text{Ox}$ горизонтальна, а $\text{Oy}$ вертикальна, будет: $x_{отв} = l_n \cos \alpha = (v_0 t_n) \cos \alpha$ и $y_{отв} = l_n \sin \alpha = (v_0 t_n) \sin \alpha$.
• Нити, подвешенные в отверстиях, моделируют влияние гравитации. Длина нити $h_n$ пропорциональна квадрату времени ($h_n \propto t_n^2$). Это соответствует формуле пути при равноускоренном движении без начальной скорости: $s = \frac{at^2}{2}$. В данном случае $a=g$ (ускорение свободного падения), поэтому смещение тела вниз под действием гравитации равно $\frac{gt^2}{2}$. Таким образом, можно считать, что длина нити $h_n = \frac{g t_n^2}{2}$ (в определенном масштабе).

Положение шарика на конце $\text{n}$-й нити определяется как разность между положением отверстия на линейке и длиной нити (поскольку нить висит вертикально вниз). Координаты $\text{n}$-го шарика будут:

$x_{шар, n} = x_{отв, n} = (v_0 \cos \alpha) t_n$

$y_{шар, n} = y_{отв, n} - h_n = (v_0 \sin \alpha) t_n - \frac{g t_n^2}{2}$

Эти уравнения в точности совпадают с уравнениями движения тела, брошенного под углом $\alpha$ к горизонту с начальной скоростью $v_0$. Таким образом, шарики выстраиваются вдоль параболической траектории, и каждый шарик показывает положение тела в последовательные моменты времени.

Ответ: Устройство моделирует траекторию полета тела, брошенного под углом к горизонту, разделяя сложное движение на два простых: равномерное движение по прямой (вдоль линейки) и равноускоренное падение (длины нитей). Положения шариков соответствуют точкам на параболической траектории тела в последовательные моменты времени.

Определение максимальной высоты подъема с помощью модели

Максимальная высота подъема $H_{max}$ — это наибольшая вертикальная координата, которую достигает тело в процессе полета. Это происходит в верхней точке траектории, где вертикальная составляющая скорости на мгновение становится равной нулю. Теоретически максимальная высота подъема вычисляется по формуле:

$H_{max} = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

В предложенной модели максимальная высота подъема соответствует шарику, который находится на наибольшей высоте относительно горизонтальной оси, проходящей через точку крепления линейки (начало траектории). Чтобы найти эту высоту, необходимо визуально определить самый высокий шарик в построенной траектории и измерить его вертикальное расстояние от начального уровня. Поскольку модель дискретна (состоит из отдельных шариков), найденное значение будет аппроксимацией истинной максимальной высоты. Точность аппроксимации тем выше, чем меньше шаг между отверстиями.

Ответ: Максимальную высоту подъема можно определить, найдя в модели шарик, который расположен выше всех остальных, и измерив его высоту относительно начального горизонтального уровня.

Определение угла для максимальной дальности полета

Дальность полета $\text{R}$ — это расстояние по горизонтали, которое пролетает тело за все время полета до возвращения на начальную высоту. Теоретически дальность полета определяется формулой:

$R = \frac{v_0^2 \sin(2\alpha)}{g}$

Из этой формулы видно, что при фиксированной начальной скорости $v_0$ дальность полета зависит от угла броска $\alpha$. Максимальное значение дальности достигается, когда $\sin(2\alpha)$ максимален, то есть равен 1. Это условие выполняется при $2\alpha = 90^\circ$, откуда оптимальный угол для максимальной дальности полета $\alpha = 45^\circ$.

С помощью данного устройства можно экспериментально проверить этот вывод. Для этого необходимо последовательно устанавливать линейку под разными углами (например, 30°, 45°, 60°, 75°) и для каждого угла определять дальность полета. Дальность полета в модели — это горизонтальная координата точки, где траектория, образованная шариками, пересекает начальный горизонтальный уровень. Сравнивая полученные дальности, можно убедиться, что наибольшая дальность полета достигается при угле, близком к 45°.

Ответ: Чтобы найти угол, обеспечивающий максимальную дальность полета, нужно изменять угол наклона линейки и для каждого угла измерять горизонтальное расстояние до точки "приземления" (пересечения траектории с начальным уровнем). Эксперимент покажет, что максимальная дальность полета достигается при угле наклона, равном 45°.