Номер 6.8, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

6.8. Колесо радиусом 1 м катится без проскальзывания по горизонтальной поверхности со скоростью 1 м/с. Определите зависимость координат точки, находящейся на ободе колеса, от времени. Начертите траекторию движения этой точки.

Дано:

Радиус колеса: $R = 1$ м

Скорость центра колеса: $v = 1$ м/с

Условие: качение без проскальзывания

Найти:

Зависимость координат точки на ободе от времени: $x(t)$, $y(t)$.

Начертить траекторию движения этой точки.

Решение:

Движение точки, находящейся на ободе колеса, является сложным. Его можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного движения центра колеса и вращательного движения точки вокруг этого центра.

1. Введем систему координат. Пусть ось $\text{Ox}$ совпадает с горизонтальной поверхностью, по которой катится колесо, а ось $\text{Oy}$ направлена вертикально вверх. В начальный момент времени $t=0$ пусть точка на ободе, которую мы отслеживаем, находится в начале координат $(0, 0)$. В этот момент центр колеса $\text{C}$ имеет координаты $(0, R)$.

2. Координаты центра колеса $\text{C}$ изменяются со временем следующим образом:

Центр движется поступательно с постоянной скоростью $\text{v}$ вдоль оси $\text{Ox}$ на высоте $\text{R}$.

$x_C(t) = v \cdot t$

$y_C(t) = R$

3. Из условия качения без проскальзывания следует, что скорость точки касания колеса с поверхностью равна нулю. Эта скорость является векторной суммой скорости центра колеса $\text{v}$ и линейной скорости вращения точки на ободе $\omega R$. Так как эти скорости направлены в противоположные стороны (в нижней точке), то $v - \omega R = 0$. Отсюда находим угловую скорость вращения колеса:

$\omega = \frac{v}{R}$

Подставим данные задачи:

$\omega = \frac{1 \text{ м/с}}{1 \text{ м}} = 1 \text{ рад/с}$

4. Теперь определим положение точки $\text{M}$ на ободе относительно движущегося центра $\text{C}$. Угол поворота колеса за время $\text{t}$ равен $\phi = \omega t$. Так как в $t=0$ точка $\text{M}$ была внизу, ее положение относительно центра $\text{C}$ в момент времени $\text{t}$ описывается уравнениями:

$x_{отн}(t) = -R \sin(\phi) = -R \sin(\omega t)$

$y_{отн}(t) = -R \cos(\phi) = -R \cos(\omega t)$

Здесь отрицательные знаки выбраны так, чтобы в $t=0$ ($\phi=0$) относительные координаты были $(0, -R)$, что соответствует начальному положению точки $\text{M}$ под центром $\text{C}$.

5. Чтобы найти абсолютные координаты точки $\text{M}$, нужно сложить координаты центра $\text{C}$ и относительные координаты точки $\text{M}$:

$x(t) = x_C(t) + x_{отн}(t) = vt - R \sin(\omega t)$

$y(t) = y_C(t) + y_{отн}(t) = R - R \cos(\omega t) = R(1 - \cos(\omega t))$

Это параметрические уравнения движения точки на ободе колеса.

6. Подставим в полученные уравнения числовые значения из условия задачи: $R=1$ м, $v=1$ м/с, $\omega=1$ рад/с.

$x(t) = 1 \cdot t - 1 \cdot \sin(1 \cdot t) = t - \sin(t)$

$y(t) = 1 \cdot (1 - \cos(1 \cdot t)) = 1 - \cos(t)$

Здесь $\text{t}$ выражено в секундах, а координаты $\text{x}$ и $\text{y}$ — в метрах.

7. Траектория движения этой точки называется циклоидой. Она представляет собой последовательность арок. Каждая арка соответствует одному полному обороту колеса.

• В момент времени $t=0$, $x(0)=0$, $y(0)=0$. Точка находится в начале координат.

• Максимальная высота подъема точки достигается, когда $\cos(\omega t) = -1$. Это происходит при $t = \pi, 3\pi, \dots$. В эти моменты $y_{max} = R(1 - (-1)) = 2R = 2$ м. Координата $\text{x}$ в момент $t=\pi$ равна $x(\pi) = \pi - \sin(\pi) = \pi$ м.

• Точка снова касается поверхности, когда $y=0$. Это происходит, когда $\cos(\omega t) = 1$, то есть при $t=2\pi, 4\pi, \dots$. При $t=2\pi$ координата $\text{x}$ равна $x(2\pi) = 2\pi - \sin(2\pi) = 2\pi$ м.

Таким образом, траектория представляет собой арки высотой $2R=2$ м и длиной основания (шагом) $2\pi R = 2\pi$ м.

Ниже представлен эскиз траектории (одна арка циклоиды):

Ответ: Зависимость координат точки на ободе от времени описывается следующими параметрическими уравнениями:

$x(t) = t - \sin(t)$

$y(t) = 1 - \cos(t)$

Траекторией движения является циклоида.