Номер 6.4, страница 32 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

6.4. Мимо поста ГИБДД проехал автомобиль со скоростью $\text{u}$, превышающей дозволенную. Инспектор ГИБДД на мотоцикле отправился вдогонку в тот момент, когда автомобиль поравнялся с постом ГИБДД. Считая движение мотоцикла равноускоренным, определите скорость $\text{v}$ мотоцикла в тот момент, когда он догонит автомобиль.

Дано:

Скорость автомобиля: $u = \text{const}$

Начальная скорость мотоцикла: $v_{0м} = 0$

Движение автомобиля - равномерное.

Движение мотоцикла - равноускоренное с ускорением $a = \text{const}$.

Найти:

Скорость мотоцикла в момент, когда он догонит автомобиль: $\text{v}$

Решение:

Выберем систему отсчета, связанную с землей. Ось OX направим вдоль дороги по направлению движения. За начало отсчета ($x=0$) примем положение поста ГИБДД. За начало отсчета времени ($t=0$) примем момент, когда автомобиль проезжает мимо поста и мотоциклист начинает движение.

Автомобиль движется с постоянной скоростью $\text{u}$. Уравнение его движения (зависимость координаты от времени) имеет вид:

$x_а(t) = u \cdot t$

Мотоциклист начинает движение из состояния покоя ($v_{0м} = 0$) и движется с постоянным ускорением $\text{a}$. Уравнение его движения:

$x_м(t) = v_{0м}t + \frac{at^2}{2} = \frac{at^2}{2}$

Мотоциклист догонит автомобиль в тот момент времени $\text{T}$, когда их координаты станут равны. В этот момент пройденные ими пути будут одинаковы:

$x_а(T) = x_м(T)$

Подставим выражения для координат и составим уравнение:

$u \cdot T = \frac{aT^2}{2}$

Так как нас интересует момент времени после старта ($T>0$), мы можем разделить обе части уравнения на $\text{T}$:

$u = \frac{aT}{2}$

Из этого соотношения выразим время погони $\text{T}$:

$T = \frac{2u}{a}$

Скорость мотоцикла при равноускоренном движении изменяется со временем по линейному закону:

$v(t) = v_{0м} + at = at$

Чтобы найти искомую скорость $\text{v}$ мотоцикла в момент встречи, необходимо подставить в это уравнение найденное время $\text{T}$:

$v = v(T) = a \cdot T = a \cdot \left(\frac{2u}{a}\right)$

Сократив в выражении ускорение $\text{a}$, получаем конечный результат:

$v = 2u$

Таким образом, в момент, когда мотоциклист догонит автомобиль, его скорость будет ровно в два раза больше скорости автомобиля.

Ответ: $v = 2u$.