Номер 2, страница 30 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 2. Камень брошен вертикально вверх с поверхности Земли с начальной скоростью $30 \text{ м/с}$. Начертите графики зависимости от времени скорости, ускорения, координаты камня и пройденного им пути за $8 \text{ с}$. Считайте, что после падения камень не движется. Ускорение свободного падения примите равным $10 \text{ м/с}$. Сопротивление воздуха не учитывайте.

Решение. Когда говорят о графиках зависимости векторной величины от времени, например скорости или ускорения тела, то имеют в виду либо зависимость от времени проекции вектора на одну из координатных осей, либо зависимость от времени модуля вектора. Необходимо обратить внимание на то, что модуль любого вектора всегда величина положительная, а проекцию вектора на координатную ось можно принять положительной при направлении от начала координат и отрицательной при противоположном направлении. При решении задачи за положительное направление оси ОХ выберем направление вектора начальной скорости $v_0$ камня. В этом случае проекция $a_x$ вектора ускорения свободного падения на ось ОХ равна $a_x = -g = -10 \text{ м/с}^2$, а модуль ускорения равен $a = g = 10 \text{ м/с}^2$.

Во время полёта ни направление, ни модуль вектора ускорения свободного падения не изменяются, поэтому графики $a(t)$ и $a_x(t)$ до момента достижения земной поверхности являются прямыми, параллельными оси времени.

Зависимость проекции скорости на ось ОХ от времени можно представить в виде

$v_x = v_0 - gt$.

Так как полученная функция линейная, графиком этой функции является прямая. Её можно построить по любым двум точкам. Выберем точку старта $t = 0$, $v_x = v_0$ и верхнюю точку траектории $v_x = 0$, $t_{\text{под}} = v_0/g$. Отсюда время подъёма камня до верхней точки равно $t_{\text{под}} = 30/10 \text{ с} = 3 \text{ с}$.

Зависимость координаты $\text{x}$ камня от времени при его движении запишем в виде

$x = x_0 + v_0 t - \frac{gt^2}{2}$.

Приняв за начало отсчёта положение камня на Земле ($x_0 = 0$), получим

$x = v_0 t - \frac{gt^2}{2}$. (1)

В момент падения камня на Землю $x = 0$:

$0 = v_0 t_{\text{дв}} - \frac{gt_{\text{дв}}^2}{2}$.

Следовательно, общее время полёта

$t_{\text{дв}} = 2v_0/g$, $t_{\text{дв}} = 6 \text{ с}$.

Итак, мы выяснили, что общее время полёта камня равно $6 \text{ с}$, а время подъёма равно времени падения. В течение седьмой и восьмой секунд камень будет лежать на поверхности Земли. Построенные по этим результатам графики зависимости проекции ускорения $a_x$ и модуля ускорения $\text{a}$ от времени представлены на рисунке 1.11, а, б, графики зависимости проекции скорости $v_x$ и модуля скорости $\text{v}$ от времени представлены на рисунке 1.12, а, б.

Рис. 1.11

Рис. 1.12

Выражение (1) является квадратичной функцией, следовательно, графиком этой функции является парабола. Вершину параболы можно найти, подставив в выражение (1) время подъёма камня $t_{\text{под}} = v_0/g$:

$x_{\text{max}} = v_0^2/(2g)$; $x_{\text{max}} = 45 \text{ м}$.

Для построения параболы заполним таблицу.

t, с 0 1 2 3 4 5 6 7 8

x, м 0 25 40 45 40 25 0 0 0

График зависимости координаты $\text{x}$ от времени представлен на рисунке 1.13, а. Для построения графика зависимости пройденного пути $\text{s}$ от времени следует учесть, что в первые три секунды он совпадает с графиком $x(t)$, а с четвёртой по шестую секунду длина пути продолжает увеличиваться по закону:

$s = \frac{v_0^2}{2g} + \frac{g(t - 3)^2}{2}$.

Заполним таблицу зависимости пути от времени.

t, с 0 1 2 3 4 5 6 7 8

s, м 0 25 40 45 50 65 90 90 90

График этой зависимости представлен на рисунке 1.13, б.

Дано:

Начальная скорость: $v_0 = 30$ м/с
Ускорение свободного падения: $g = 10$ м/с²
Общее время наблюдения: $T = 8$ с

Найти:

Построить графики зависимости от времени:

1. Ускорения камня $a(t)$.

2. Скорости камня $v(t)$.

3. Координаты камня $y(t)$.

4. Пройденного камнем пути $s(t)$.

Решение:

Выберем систему координат, связанную с Землей. Ось OY направим вертикально вверх, а начало координат ($y=0$) расположим на поверхности Земли, в точке броска. В этом случае начальная координата $y_0 = 0$, проекция начальной скорости на ось OY положительна $v_{0y} = +30$ м/с. Ускорение свободного падения $\text{g}$ всегда направлено вниз, поэтому его проекция на ось OY отрицательна: $a_y = -g = -10$ м/с².

Движение камня является равноускоренным. Зависимость координаты и скорости от времени описывается следующими уравнениями:

$y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} = 30t - \frac{10t^2}{2} = 30t - 5t^2$

$v_y(t) = v_{0y} + a_y t = 30 - 10t$

Найдем ключевые моменты времени.

Время подъема на максимальную высоту ($v_y = 0$):
$0 = 30 - 10t_{под} \Rightarrow t_{под} = \frac{30}{10} = 3$ c.

Максимальная высота подъема (координата в момент $t_{под}$):
$y_{max} = y(3) = 30 \cdot 3 - 5 \cdot 3^2 = 90 - 45 = 45$ м.

Общее время полета (время до возвращения на землю, $y=0$):
$0 = 30t_{пол} - 5t_{пол}^2 = 5t_{пол}(6 - t_{пол})$
Отсюда $t_{пол} = 6$ c. (Корень $t=0$ соответствует моменту броска).

Таким образом, камень движется вверх и вниз в течение первых 6 секунд. В промежуток времени от $t=6$ с до $t=8$ с камень неподвижно лежит на земле ($y=0, v=0, a=0$).

Теперь построим графики для интервала времени от 0 до 8 с.

1. Графики зависимости ускорения от времени

Во время полета ($0 \le t \le 6$ с) ускорение камня постоянно и равно ускорению свободного падения. Его проекция на ось OY отрицательна: $a_y = -10$ м/с². Модуль ускорения, соответственно, $a = 10$ м/с². После падения ($6 \lt t \le 8$ с) камень покоится на земле, его ускорение равно нулю.

а) График проекции ускорения $a_y(t)$

б) График модуля ускорения $a(t)$

Ответ: Графики представляют собой прямые линии, параллельные оси времени, со скачком в момент падения камня $t=6$ c.

2. Графики зависимости скорости от времени

Проекция скорости изменяется линейно по закону $v_y(t) = 30 - 10t$ во время полета ($0 \le t \le 6$ с). После падения ($6 \lt t \le 8$ с) скорость равна нулю. Модуль скорости (скорость по спидометру) $v(t) = |v_y(t)|$.

а) График проекции скорости $v_y(t)$

б) График модуля скорости $v(t)$

Ответ: График проекции скорости - наклонная прямая, пересекающая ось времени в $t=3$ с. График модуля скорости - ломаная линия ("галочка") с минимумом в $t=3$ с.

3. График зависимости координаты от времени y(t)

Координата (высота) изменяется по параболическому закону $y(t) = 30t - 5t^2$ во время полета ($0 \le t \le 6$ с). Вершина параболы находится в точке ($t=3$ с, $y=45$ м). После падения ($6 \lt t \le 8$ с) координата равна нулю.

Ответ: График представляет собой ветвь параболы с вершиной в точке (3 с; 45 м) на интервале от 0 до 6 с, а затем - отрезок прямой, совпадающий с осью времени.

4. График зависимости пройденного пути от времени s(t)

Пройденный путь - это длина траектории. Путь никогда не убывает.
- При подъеме ($0 \le t \le 3$ с) путь равен высоте: $s(t) = y(t) = 30t - 5t^2$. В конце подъема $s(3) = 45$ м.
- При падении ($3 \lt t \le 6$ с) путь равен пути подъема плюс расстояние, пройденное вниз: $s(t) = 45 + (y_{max} - y(t)) = 45 + (45 - (30t - 5t^2)) = 90 - 30t + 5t^2$. В конце полета $s(6) = 90$ м.
- После падения ($6 \lt t \le 8$ с) камень не движется, и путь не меняется: $s(t) = 90$ м.

Ответ: График пути состоит из двух параболических участков, плавно соединенных в точке (3 с; 45 м), и переходит в горизонтальную прямую при $t=6$ с.