Номер 6.3, страница 32 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

6.3. Самолёт выполняет «мёртвую петлю» в вертикальной плоскости, двигаясь с постоянной по модулю скоростью. Определите минимальную скорость движения самолёта при радиусе «петли» 90 м и максимальный радиус «петли» при скорости движения самолёта 100 м/с.

Для решения задачи рассмотрим движение самолёта в верхней точке "мёртвой петли". Согласно второму закону Ньютона, сумма сил, действующих на самолёт (сила тяжести $\text{mg}$ и сила реакции опоры $\text{N}$, с которой кресло давит на лётчика), равна произведению массы на центростремительное ускорение. Обе силы в верхней точке направлены вниз, к центру окружности.

$mg + N = m a_c = m \frac{v^2}{R}$

где $\text{m}$ – масса самолёта, $\text{g}$ – ускорение свободного падения, $\text{v}$ – скорость самолёта, $\text{R}$ – радиус петли.

Минимальная скорость для выполнения петли при заданном радиусе (или максимальный радиус при заданной скорости) соответствует предельному случаю, когда сила реакции опоры $\text{N}$ обращается в нуль ($N=0$). В этот момент пилот испытывает состояние невесомости. Условие для этого случая:

$mg = m \frac{v^2}{R}$

Сократив массу, получаем основное расчётное соотношение:

$v^2 = gR$

В расчётах будем использовать значение ускорения свободного падения $g \approx 9.8 \text{ м/с}^2$.

Определение минимальной скорости движения самолёта

Дано:

Радиус «петли» $R_1 = 90$ м.

Найти:

Минимальную скорость $v_{min}$.

Решение:

Используя выведенное соотношение $v^2 = gR$, найдём минимальную скорость, необходимую для выполнения петли с заданным радиусом.
$v_{min} = \sqrt{gR_1}$
Подставим числовые значения:
$v_{min} = \sqrt{9.8 \text{ м/с}^2 \cdot 90 \text{ м}} = \sqrt{882 \text{ м}^2/\text{с}^2} \approx 29.7$ м/с.

Ответ: минимальная скорость движения самолёта при радиусе «петли» 90 м составляет примерно 29.7 м/с.

Определение максимального радиуса «петли»

Дано:

Скорость движения самолёта $v_2 = 100$ м/с.

Найти:

Максимальный радиус $R_{max}$.

Решение:

Из основного соотношения $v^2 = gR$ выразим радиус. Для заданной скорости это будет максимальный радиус, при котором возможно выполнение петли.
$R_{max} = \frac{v_2^2}{g}$
Подставим числовые значения:
$R_{max} = \frac{(100 \text{ м/с})^2}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{10000 \text{ м}^2/\text{с}^2}{9.8 \text{ м/с}^2} \approx 1020.4$ м.

Ответ: максимальный радиус «петли» при скорости движения самолёта 100 м/с составляет примерно 1020.4 м.