Номер 6.6, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

6.6. Камень бросили под углом $60^\circ$ к горизонту со скоростью $10 \text{ м/с}$. Рассчитайте радиус окружности, приближённо совпадающей с верхним участком траектории.

Дано:

Угол броска к горизонту $α = 60°$

Начальная скорость $v_0 = 10$ м/с

Ускорение свободного падения $g \approx 9.8$ м/с²

Найти:

Радиус кривизны траектории в верхней точке $\text{R}$ - ?

Решение:

Траектория движения камня, брошенного под углом к горизонту, является параболой. Радиус окружности, приближенно совпадающей с верхним участком траектории, это радиус кривизны траектории в ее высшей точке (апексе).

В верхней точке траектории вертикальная составляющая скорости камня равна нулю ($v_y = 0$). Скорость в этой точке направлена строго горизонтально и равна по величине горизонтальной составляющей начальной скорости, которая остается постоянной на протяжении всего полета (при пренебрежении сопротивлением воздуха).

Найдем скорость в верхней точке траектории ($v_{верх}$):

$v_{верх} = v_x = v_0 \cdot \cos(α)$

Единственной силой, действующей на камень в полете, является сила тяжести. Она сообщает камню ускорение свободного падения $\text{g}$, направленное вертикально вниз. В верхней точке траектории, где скорость направлена горизонтально, ускорение $\text{g}$ перпендикулярно вектору скорости. Следовательно, в этой точке ускорение свободного падения выполняет роль центростремительного ускорения $a_ц$.

$a_ц = g$

Центростремительное ускорение связано со скоростью движения по окружности и ее радиусом $\text{R}$ следующей формулой:

$a_ц = \frac{v^2}{R}$

Применительно к нашей задаче, в верхней точке траектории:

$g = \frac{v_{верх}^2}{R}$

Отсюда мы можем выразить искомый радиус $\text{R}$:

$R = \frac{v_{верх}^2}{g} = \frac{(v_0 \cdot \cos(α))^2}{g}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$R = \frac{(10 \text{ м/с} \cdot \cos(60°))^2}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{(10 \text{ м/с} \cdot 0.5)^2}{9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{(5 \text{ м/с})^2}{9.8 \text{ м/с}^2}$

$R = \frac{25 \text{ м}^2/\text{с}^2}{9.8 \text{ м/с}^2} \approx 2.551$ м

Округлим результат до двух значащих цифр после запятой.

Ответ: радиус окружности, приближенно совпадающей с верхним участком траектории, составляет примерно 2.55 м.