Номер 1, страница 29 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

ЗАДАЧА 1. Камень брошен с высоты $\text{h}$ над поверхностью Земли с начальной скоростью $v_0$ под углом $\alpha$ к горизонту. Определите зависимость координат тела от времени, время движения, дальность полёта камня и максимальную высоту его подъёма над поверхностью Земли. Напишите уравнение траектории. Сопротивление воздуха не учитывайте.

Решение. В качестве тела отсчёта выберем Землю. Начало системы координат поместим в точку О, находящуюся на Земле. Ось ОУ направим вертикально вверх, а ось ОХ расположим так, чтобы вектор скорости $v_0$ лежал в плоскости ХОУ (рис. 1.10). В этом случае движение будет происходить в указанной плоскости и для определения положения тела достаточно знать только две координаты — $\text{x}$ и $\text{y}$. У поверхности Земли все тела движутся с постоянным ускорением $\text{g}$, направленным вертикально вниз. Поэтому проекции ускорения камня во время всего его движения равны: $a_x = 0; a_y = -g$. За начало отсчёта времени выберем момент бросания камня. Запишем начальные условия:

$x_0 = 0, y_0 = h, v_{0x} = v_0 \cos \alpha, v_{0y} = v_0 \sin \alpha$.

Проекции скорости на оси координат и координаты камня в любой момент времени определяются из уравнений равноускоренного движения:

$v_x = v_0 \cos \alpha, \quad \text{(1)}$

$v_y = v_0 \sin \alpha - gt, \quad \text{(2)}$

$x = v_0 t \cos \alpha, \quad \text{(3)}$

$y = h + v_0 t \sin \alpha - \frac{gt^2}{2} \quad \text{(4)}$

Найдём связь времени $\text{t}$ с координатой $\text{x}$ из уравнения (3) $t = \frac{x}{v_0 \cos \alpha}$ и, подставив данное выражение в уравнение (4), получим

$y = h + x \operatorname{tg} \alpha - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha} \quad \text{(5)}$

Выражение (5) является уравнением параболы. При заданном значении угла $\alpha$ — это парабола типа $y = ax^2 + bx + c$.

Время подъёма камня определим, приравняв к нулю проекцию скорости $v_y$ в уравнении (2):

$0 = v_0 \sin \alpha - gt_{\text{под}}, \quad t_{\text{под}} = \frac{v_0 \sin \alpha}{g}$

Подставив полученное значение времени подъёма камня в уравнение (4), найдём максимальную высоту подъёма:

$H = y_{\text{max}} = h + v_0 \sin \alpha \frac{v_0 \sin \alpha}{g} - \frac{g}{2} \left( \frac{v_0 \sin \alpha}{g} \right)^2 = h + \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{g} - \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g} = h + \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}$

Время движения $t_{\text{дв}}$ определим, приравняв к нулю координату $\text{y}$ в уравнении (4): $0 = h + v_0 t_{\text{дв}} \sin \alpha - \frac{gt_{\text{дв}}^2}{2}$.

Решив это уравнение относительно $t_{\text{дв}}$, получим

$t_{\text{дв}} = \frac{v_0 \sin \alpha + \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha + 2gh}}{g}$

Второй корень уравнения даёт для времени движения отрицательное значение, что в данной задаче не имеет физического смысла.

Дальность полёта $\text{l}$ камня определим из уравнения (3) при подстановке $t = t_{\text{дв}}$:

$l = x_{\text{max}} = v_0 t_{\text{дв}} \cos \alpha = \frac{v_0 \sin \alpha \cos \alpha + v_0 \cos \alpha \sqrt{v_0^2 \sin^2 \alpha + 2gh}}{g}$

При $h = 0$ получаем более простые уравнения:

$x = v_0 t \cos \alpha, \quad y = v_0 t \sin \alpha - \frac{gt^2}{2}, \quad t_{\text{дв}} = \frac{2 v_0 \sin \alpha}{g}, \quad l = \frac{v_0^2 \sin 2 \alpha}{g},$

$H = \frac{v_0^2 \sin^2 \alpha}{2g}, \quad y = x \operatorname{tg} \alpha - \frac{g x^2}{2 v_0^2 \cos^2 \alpha}.$

Дано:

Начальная высота броска: $\text{h}$

Начальная скорость: $v_0$

Угол броска к горизонту: $\alpha$

Ускорение свободного падения: $\text{g}$

Найти:

1. Зависимость координат тела от времени: $x(t)$, $y(t)$

2. Время движения: $t_{дв}$

3. Дальность полёта камня: $\text{l}$

4. Максимальную высоту подъёма над поверхностью Земли: $\text{H}$

5. Уравнение траектории: $y(x)$

Решение:

Для решения задачи выберем систему координат. Начало координат (точку O) расположим на поверхности Земли, прямо под точкой броска. Ось OY направим вертикально вверх, а ось OX — горизонтально в направлении полёта камня. Сопротивление воздуха не учитываем.

В выбранной системе координат начальные условия (в момент времени $t=0$) будут следующими:

Начальные координаты: $x_0 = 0$, $y_0 = h$.

Проекции начальной скорости на оси координат: $v_{0x} = v_0 \cos\alpha$, $v_{0y} = v_0 \sin\alpha$.

Проекции ускорения на оси (ускорение свободного падения $\vec{g}$ направлено вниз): $a_x = 0$, $a_y = -g$.

Движение камня можно рассматривать как сумму двух независимых движений: равномерного по горизонтали (ось OX) и равноускоренного по вертикали (ось OY).

Зависимость координат тела от времени

Координаты тела в любой момент времени $\text{t}$ описываются следующими кинематическими уравнениями:

Для оси OX (равномерное движение): $x(t) = x_0 + v_{0x}t = (v_0 \cos\alpha)t$.

Для оси OY (равноускоренное движение): $y(t) = y_0 + v_{0y}t + \frac{a_y t^2}{2} = h + (v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$.

Ответ: Зависимость координат от времени имеет вид: $x(t) = (v_0 \cos\alpha)t$; $y(t) = h + (v_0 \sin\alpha)t - \frac{gt^2}{2}$.

Уравнение траектории

Чтобы получить уравнение траектории $y(x)$, необходимо исключить время $\text{t}$ из уравнений для координат. Из уравнения для $x(t)$ выразим время: $t = \frac{x}{v_0 \cos\alpha}$. Подставим это выражение в уравнение для $y(t)$:

$y(x) = h + (v_0 \sin\alpha)\left(\frac{x}{v_0 \cos\alpha}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{x}{v_0 \cos\alpha}\right)^2 = h + x \tan\alpha - \frac{g}{2v_0^2 \cos^2\alpha}x^2$.

Это уравнение параболы.

Ответ: Уравнение траектории: $y(x) = h + x \tan\alpha - \frac{g x^2}{2v_0^2 \cos^2\alpha}$.

Максимальная высота подъёма над поверхностью Земли

Максимальная высота подъема достигается в момент, когда вертикальная составляющая скорости $v_y$ обращается в ноль. Уравнение для $v_y$: $v_y(t) = v_{0y} + a_y t = v_0 \sin\alpha - gt$.

При $v_y = 0$, время подъёма $t_{под} = \frac{v_0 \sin\alpha}{g}$.

Подставим это время в уравнение для $y(t)$, чтобы найти максимальную высоту $\text{H}$:

$H = y(t_{под}) = h + (v_0 \sin\alpha)\left(\frac{v_0 \sin\alpha}{g}\right) - \frac{g}{2}\left(\frac{v_0 \sin\alpha}{g}\right)^2 = h + \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{g} - \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g} = h + \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$.

Ответ: Максимальная высота подъёма над поверхностью Земли: $H = h + \frac{v_0^2 \sin^2\alpha}{2g}$.

Время движения

Время движения (полёта) $t_{дв}$ — это время, за которое камень достигнет поверхности Земли, т.е. его координата $\text{y}$ станет равной нулю. Приравниваем уравнение $y(t)$ к нулю:

$h + (v_0 \sin\alpha)t_{дв} - \frac{g}{2}t_{дв}^2 = 0$.

Это квадратное уравнение относительно $t_{дв}$. Решая его и отбрасывая отрицательный корень (так как время не может быть отрицательным), получаем:

$t_{дв} = \frac{v_0 \sin\alpha + \sqrt{(v_0 \sin\alpha)^2 + 2gh}}{g}$.

Ответ: Время движения: $t_{дв} = \frac{v_0 \sin\alpha + \sqrt{v_0^2 \sin^2\alpha + 2gh}}{g}$.

Дальность полёта камня

Дальность полёта $\text{l}$ — это горизонтальное расстояние, которое пролетел камень за всё время движения $t_{дв}$.

$l = x(t_{дв}) = (v_0 \cos\alpha) t_{дв}$.

Подставляем найденное выражение для $t_{дв}$:

$l = (v_0 \cos\alpha) \frac{v_0 \sin\alpha + \sqrt{v_0^2 \sin^2\alpha + 2gh}}{g}$.

Ответ: Дальность полёта камня: $l = \frac{v_0 \cos\alpha (v_0 \sin\alpha + \sqrt{v_0^2 \sin^2\alpha + 2gh})}{g}$.