Номер 6.1, страница 32 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

РЕШИТЕ

6.1. На рисунке 1.14 представлены графики зависимости скорости движения двух автомобилей от времени. Автомобили движутся по одной прямой в одном направлении и в начальный момент времени находились в одном и том же месте. Через сколько времени второй автомобиль догонит первый?

Рис. 1.14

Дано:

Графики зависимости скорости от времени $v(t)$ для двух автомобилей.
$x_{01} = x_{02}$ (в начальный момент времени автомобили находились в одном и том же месте).
Движение по одной прямой в одном направлении.
Из графика для первого автомобиля (линия 1):
Начало движения: $t_{01} = 0 \text{ с}$
Начальная скорость: $v_{01} = 0 \text{ м/с}$
Тип движения: равноускоренное.
Из графика для второго автомобиля (линия 2):
Начало движения: $t_{02} = 3 \text{ с}$
Начальная скорость: $v_{02} = 0 \text{ м/с}$
Тип движения: равноускоренное.
В момент времени $t = 4 \text{ с}$ скорости автомобилей равны: $v_1(4) = v_2(4) = v_B$.

Найти:

$\text{t}$ — время, через которое второй автомобиль догонит первый.

Решение:

Второй автомобиль догонит первый в тот момент времени $\text{t}$, когда их координаты станут равными. Поскольку они начинают движение из одной и той же точки ($x_0 = 0$), это условие эквивалентно равенству пройденных ими путей: $s_1(t) = s_2(t)$.

Пройденный путь в кинематике равен площади под графиком скорости $v(t)$. Оба автомобиля движутся равноускоренно, так как их графики скорости представляют собой прямые линии.

Найдем ускорения автомобилей. Ускорение — это тангенс угла наклона графика $v(t)$ к оси времени.

Для первого автомобиля (индекс 1): Движение начинается в $t=0$ с $v_0=0$. Уравнение скорости: $v_1(t) = a_1 t$. Из графика видно, что при $t=4 \text{ с}$ скорость равна $v_B$. Подставим эти значения: $v_B = a_1 \cdot 4 \implies a_1 = \frac{v_B}{4}$.

Для второго автомобиля (индекс 2): Движение начинается в $t=3 \text{ с}$ с $v_0=0$. Уравнение скорости для $t \ge 3 \text{ с}$: $v_2(t) = a_2 (t-3)$. Из графика при $t=4 \text{ с}$ скорость равна $v_B$. Подставим эти значения: $v_B = a_2 (4-3) \implies a_2 = v_B$.

Теперь запишем формулы для пути, пройденного каждым автомобилем. Для равноускоренного движения из состояния покоя путь равен $s = \frac{at^2}{2}$.

Путь первого автомобиля в момент времени $\text{t}$: $s_1(t) = \frac{a_1 t^2}{2} = \frac{(\frac{v_B}{4}) t^2}{2} = \frac{v_B t^2}{8}$.

Путь второго автомобиля в момент времени $\text{t}$. Он движется в течение времени $(t-3)$: $s_2(t) = \frac{a_2 (t-3)^2}{2} = \frac{v_B (t-3)^2}{2}$ (справедливо для $t \ge 3 \text{ с}$).

Приравняем пути, чтобы найти момент встречи: $s_1(t) = s_2(t)$ $\frac{v_B t^2}{8} = \frac{v_B (t-3)^2}{2}$

Так как $v_B \ne 0$, можно сократить обе части уравнения на $\frac{v_B}{2}$: $\frac{t^2}{4} = (t-3)^2$

$t^2 = 4(t-3)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $t>0$ и для встречи $\text{t}$ должно быть больше 3, то $t-3>0$. $t = 2(t-3)$ $t = 2t - 6$ $t = 6$

Можно также решить уравнение, раскрыв скобки: $t^2 = 4(t^2 - 6t + 9)$ $t^2 = 4t^2 - 24t + 36$ $3t^2 - 24t + 36 = 0$ Разделим все на 3: $t^2 - 8t + 12 = 0$ По теореме Виета корни уравнения: $t_1 = 2$ и $t_2 = 6$.

Корень $t_1 = 2 \text{ с}$ не является решением задачи, поскольку в этот момент времени второй автомобиль еще не начал свое движение (он стартует в $t=3 \text{ с}$). Следовательно, верным решением является $t_2 = 6 \text{ с}$.

Ответ: через 6 с.