Номер 6.7, страница 33 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

6.7. В последнюю секунду свободного падения тело прошло четвёртую часть пути. Сколько времени и с какой высоты оно падало?

Дано:

Свободное падение тела, начальная скорость $v_0 = 0$ м/с.

Промежуток времени в конце падения, $\Delta t_{посл} = 1$ с.

Путь, пройденный за этот промежуток, $\Delta H = \frac{1}{4}H$, где $\text{H}$ - полная высота падения.

Ускорение свободного падения, $g \approx 9.8$ м/с².

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Полное время падения, $t - ?$

Полная высота падения, $H - ?$

Решение:

Свободное падение тела без начальной скорости описывается формулой для пройденного пути:

$h(t) = \frac{gt^2}{2}$

Полная высота падения $\text{H}$ соответствует полному времени падения $\text{t}$. Таким образом:

$H = \frac{gt^2}{2}$ (1)

Согласно условию, за последнюю секунду падения тело прошло четверть всего пути, то есть $\Delta H = \frac{1}{4}H$. Это означает, что за время $t' = t - 1$ с (время падения без последней секунды) тело прошло путь $H' = H - \Delta H = H - \frac{1}{4}H = \frac{3}{4}H$.

Путь, пройденный за время $t' = t - 1$, также можно выразить через формулу свободного падения:

$H' = \frac{g(t-1)^2}{2}$ (2)

Теперь мы можем приравнять два выражения для $H'$:

$\frac{3}{4}H = \frac{g(t-1)^2}{2}$

Подставим в это уравнение выражение для полной высоты $\text{H}$ из формулы (1):

$\frac{3}{4} \left( \frac{gt^2}{2} \right) = \frac{g(t-1)^2}{2}$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{g}{2}$:

$\frac{3}{4}t^2 = (t-1)^2$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения. Так как время падения $\text{t}$ и время $t-1$ должны быть положительными (поскольку падение длится более одной секунды), мы рассматриваем только положительные значения корней:

$\sqrt{\frac{3}{4}}t = t-1$

$\frac{\sqrt{3}}{2}t = t-1$

Решим полученное линейное уравнение относительно $\text{t}$:

$t - \frac{\sqrt{3}}{2}t = 1$

$t\left(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 1$

$t = \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{2 - \sqrt{3}}$

Для упрощения выражения избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:

$t = \frac{2(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{4 + 2\sqrt{3}}{4 - 3} = 4 + 2\sqrt{3}$ с.

Вычислим приближенное значение времени, принимая $\sqrt{3} \approx 1.732$:

$t \approx 4 + 2 \cdot 1.732 = 4 + 3.464 = 7.464$ с.

Теперь, зная время падения, найдем высоту $\text{H}$ по формуле (1):

$H = \frac{gt^2}{2} = \frac{g(4 + 2\sqrt{3})^2}{2}$

Возведем в квадрат выражение для времени:

$(4 + 2\sqrt{3})^2 = 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot (2\sqrt{3}) + (2\sqrt{3})^2 = 16 + 16\sqrt{3} + 12 = 28 + 16\sqrt{3}$

Подставим результат в формулу для высоты:

$H = \frac{g(28 + 16\sqrt{3})}{2} = g(14 + 8\sqrt{3})$ м.

Вычислим приближенное значение высоты, используя $g \approx 9.8$ м/с²:

$H \approx 9.8 \cdot (14 + 8 \cdot 1.732) = 9.8 \cdot (14 + 13.856) = 9.8 \cdot 27.856 \approx 272.99$ м.

Округлим полученные значения.

Ответ: время падения $t = 4 + 2\sqrt{3} \approx 7.46$ с, высота падения $H = g(14 + 8\sqrt{3}) \approx 273$ м (при $g = 9.8$ м/с²).