Номер 6.2, страница 32 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

6.2. Найдите зависимость центростремительного ускорения точек земной поверхности от широты местности. Рассчитайте центростремительное ускорение для полюса, экватора и Москвы. При расчётах примите, что Земля имеет форму шара радиусом 6400 км.

Дано:

Радиус Земли $R = 6400 \text{ км}$
Период вращения Земли $T = 24 \text{ часа}$
Широта Москвы (приблизительно) $\phi_М \approx 56^\circ$

$R = 6400 \times 10^3 \text{ м} = 6.4 \times 10^6 \text{ м}$
$T = 24 \times 3600 \text{ с} = 86400 \text{ с}$

Найти:

$a_c(\phi)$ — зависимость центростремительного ускорения от широты
$a_{c,пол}$ — ускорение для полюса
$a_{c,экв}$ — ускорение для экватора
$a_{c,М}$ — ускорение для Москвы

Решение:

Все точки на поверхности Земли участвуют в ее суточном вращении с одинаковой угловой скоростью $\omega$. Угловая скорость связана с периодом вращения $\text{T}$ соотношением:

$\omega = \frac{2\pi}{T}$

Центростремительное ускорение точки, движущейся по окружности радиуса $\text{r}$ с угловой скоростью $\omega$, определяется формулой:

$a_c = \omega^2 r$

Точка на поверхности Земли, находящаяся на широте $\phi$, вращается по окружности, плоскость которой параллельна плоскости экватора. Радиус этой окружности вращения $\text{r}$ зависит от широты $\phi$ и радиуса Земли $\text{R}$. Из геометрических соображений можно определить, что:

$r = R \cos(\phi)$

Подставив выражение для $\text{r}$ и $\omega$ в формулу для центростремительного ускорения, получим искомую зависимость центростремительного ускорения точек земной поверхности от широты местности:

$a_c(\phi) = \omega^2 R \cos(\phi) = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R \cos(\phi)$

Ответ: Зависимость центростремительного ускорения от широты $\phi$ имеет вид $a_c(\phi) = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R \cos(\phi)$.

Теперь рассчитаем центростремительное ускорение для конкретных точек. Сначала вычислим постоянный множитель, равный ускорению на экваторе (где $\phi=0^\circ$ и $\cos(\phi)=1$):

$a_{c,экв} = \left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 R = \left(\frac{2 \cdot 3.14159}{86400 \text{ с}}\right)^2 \cdot 6.4 \cdot 10^6 \text{ м} \approx 0.03385 \text{ м/с}^2$

Для полюса:

Широта полюса $\phi_{пол} = 90^\circ$. Косинус этого угла $\cos(90^\circ) = 0$.

$a_{c,пол} = a_{c,экв} \cdot \cos(90^\circ) = 0.03385 \text{ м/с}^2 \cdot 0 = 0 \text{ м/с}^2$

Ответ: Центростремительное ускорение для полюса равно $0 \text{ м/с}^2$.

Для экватора:

Широта экватора $\phi_{экв} = 0^\circ$. Косинус этого угла $\cos(0^\circ) = 1$.

$a_{c,экв} = 0.03385 \text{ м/с}^2 \cdot 1 \approx 0.034 \text{ м/с}^2$

Ответ: Центростремительное ускорение для экватора составляет примерно $0.034 \text{ м/с}^2$.

Для Москвы:

Примем широту Москвы $\phi_М \approx 56^\circ$. Косинус этого угла $\cos(56^\circ) \approx 0.5592$.

$a_{c,М} = a_{c,экв} \cdot \cos(56^\circ) \approx 0.03385 \text{ м/с}^2 \cdot 0.5592 \approx 0.01893 \text{ м/с}^2$

Ответ: Центростремительное ускорение для Москвы составляет примерно $0.019 \text{ м/с}^2$.