Номер 4, страница 36 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

4. Инвариантно ли ускорение тела в системах отсчёта, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга?

4. Инвариантно ли ускорение тела в системах отсчёта, движущихся равномерно и прямолинейно относительно друг друга?

Решение:

Да, ускорение тела инвариантно в системах отсчёта, движущихся равномерно и прямолинейно друг относительно друга (в инерциальных системах отсчёта). Это утверждение является следствием преобразований Галилея, лежащих в основе классической механики.

Рассмотрим две системы отсчёта: неподвижную систему K и систему K', которая движется относительно K с постоянной скоростью $\vec{V}$. Положение тела в системе K задаётся радиус-вектором $\vec{r}$, а в системе K' — радиус-вектором $\vec{r'}$. В классической механике время считается абсолютным, то есть $t' = t$.

Связь между координатами тела в этих системах отсчёта (преобразования Галилея) выражается формулой:

$\vec{r'} = \vec{r} - \vec{R}_0$

где $\vec{R}_0$ — радиус-вектор начала координат системы K' относительно начала координат системы K. Так как система K' движется с постоянной скоростью $\vec{V}$, то $\vec{R}_0 = \vec{V}t$ (при условии, что в момент $t=0$ начала координат совпадали).

Таким образом, $\vec{r'} = \vec{r} - \vec{V}t$.

Чтобы найти связь между скоростями, продифференцируем это выражение по времени:

$\vec{v'} = \frac{d\vec{r'}}{dt} = \frac{d(\vec{r} - \vec{V}t)}{dt} = \frac{d\vec{r}}{dt} - \vec{V} = \vec{v} - \vec{V}$

Здесь $\vec{v'}$ — скорость тела в системе K', а $\vec{v}$ — скорость тела в системе K. Это классический закон сложения скоростей: $\vec{v} = \vec{v'} + \vec{V}$.

Теперь найдём связь между ускорениями, для чего продифференцируем по времени выражение для скоростей:

$\vec{a'} = \frac{d\vec{v'}}{dt} = \frac{d(\vec{v} - \vec{V})}{dt} = \frac{d\vec{v}}{dt} - \frac{d\vec{V}}{dt}$

Поскольку движение систем отсчёта друг относительно друга равномерное и прямолинейное, скорость $\vec{V}$ является постоянной величиной ($\vec{V} = \text{const}$). Производная от константы равна нулю: $\frac{d\vec{V}}{dt} = 0$.

Следовательно, мы получаем:

$\vec{a'} = \frac{d\vec{v}}{dt} - 0 = \vec{a}$

Таким образом, ускорение тела в подвижной системе отсчёта K' ($\vec{a'}$) равно ускорению тела в неподвижной системе отсчёта K ($\vec{a}$). Это означает, что ускорение является инвариантной величиной при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

Ответ: Да, ускорение тела является инвариантной (неизменной) величиной в системах отсчёта, движущихся равномерно и прямолинейно друг относительно друга.