Номер 7.4, страница 37 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

7.4. Ракета стартовала с поверхности Земли и двигалась вертикально вверх с ускорением $5 \text{ м}/\text{с}^2$ в течение $10 \text{ с}$, пока работали её двигатели. Сколько времени пройдёт с момента прекращения работы двигателей до момента падения ракеты на Землю? Сопротивление воздуха не учитывайте.

Дано:

$a = 5 \text{ м/с}^2$ (ускорение ракеты с работающими двигателями)
$t_1 = 10 \text{ с}$ (время работы двигателей)
$v_0 = 0 \text{ м/с}$ (начальная скорость ракеты)
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ м/с}^2$.

Найти:

$t_{пол}$ — время с момента прекращения работы двигателей до момента падения ракеты на Землю.

Решение:

Движение ракеты можно разделить на два этапа: подъем с работающими двигателями и свободный полет после их отключения.

1. Этап подъема с работающими двигателями.
На этом этапе ракета движется равноускоренно вверх. Найдем высоту $h_1$ и скорость $v_1$, которые ракета будет иметь в момент отключения двигателей.
Начальная скорость ракеты $v_0 = 0$.
Высота, достигнутая за время $t_1$:
$h_1 = v_0 t_1 + \frac{at_1^2}{2} = 0 \cdot 10 + \frac{5 \cdot (10)^2}{2} = \frac{500}{2} = 250 \text{ м}$.
Скорость, достигнутая за время $t_1$:
$v_1 = v_0 + at_1 = 0 + 5 \cdot 10 = 50 \text{ м/с}$.

2. Этап свободного полета.
Этот этап начинается в момент, когда ракета находится на высоте $h_1 = 250 \text{ м}$ и имеет начальную скорость $v_1 = 50 \text{ м/с}$, направленную вверх. После отключения двигателей на ракету действует только ускорение свободного падения $\text{g}$, направленное вниз.
Запишем уравнение движения для высоты ракеты $h(t)$ как функции времени $\text{t}$, отсчитываемого с момента отключения двигателей. Выберем ось OY, направленную вертикально вверх, с началом на поверхности Земли.
$h(t) = h_1 + v_1 t - \frac{gt^2}{2}$
Падение ракеты на Землю произойдет в тот момент времени $t_{пол}$, когда ее высота станет равной нулю, то есть $h(t_{пол}) = 0$.
$0 = 250 + 50 \cdot t_{пол} - \frac{10 \cdot t_{пол}^2}{2}$
Получаем квадратное уравнение:
$5t_{пол}^2 - 50t_{пол} - 250 = 0$
Разделим обе части уравнения на 5 для упрощения:
$t_{пол}^2 - 10t_{пол} - 50 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 100 + 200 = 300$
$t_{пол} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{300}}{2}$
Поскольку время не может быть отрицательной величиной, мы выбираем корень со знаком плюс:
$t_{пол} = \frac{10 + \sqrt{300}}{2} = \frac{10 + 10\sqrt{3}}{2} = 5(1 + \sqrt{3}) \text{ с}$
Теперь вычислим численное значение, приняв $\sqrt{3} \approx 1.732$:
$t_{пол} \approx 5 \cdot (1 + 1.732) = 5 \cdot 2.732 = 13.66 \text{ с}$.
Округлив результат до десятых, получаем $13.7$ с.

Ответ: 13.7 с.