Номер 7.6, страница 37 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

7.6. Два автомобиля приближаются к перекрёстку по взаимно перпендикулярным траекториям с постоянными скоростями $v_1$ и $v_2$. В момент времени, когда первый автомобиль достиг перекрёстка, второй находился на расстоянии $l_0$ от него. Определите минимальное расстояние между автомобилями в процессе движения.

Дано:

$v_1$ - скорость первого автомобиля

$v_2$ - скорость второго автомобиля

$l_0$ - начальное расстояние от второго автомобиля до перекрестка в момент, когда первый автомобиль достиг перекрестка

Найти:

$L_{min}$ - минимальное расстояние между автомобилями

Решение:

Введем систему координат, в которой перекресток находится в начале координат $(0, 0)$. Пусть первый автомобиль движется вдоль оси Ox, а второй — вдоль оси Oy. Траектории движения взаимно перпендикулярны, что соответствует условию задачи.

За начало отсчета времени ($t=0$) примем момент, когда первый автомобиль достигает перекрестка. В этот момент его координаты $(x_1, y_1)$ равны $(0, 0)$. Второй автомобиль в этот же момент находится на расстоянии $l_0$ от перекрестка. Предположим, что его координаты $(x_2, y_2)$ в момент $t=0$ равны $(0, l_0)$, и он движется по направлению к началу координат.

Поскольку автомобили движутся с постоянными скоростями, их координаты в произвольный момент времени $\text{t}$ можно описать следующими уравнениями:

Координаты первого автомобиля, который уже проехал перекресток и движется по оси Ox:

$x_1(t) = v_1 t$

$y_1(t) = 0$

Координаты второго автомобиля, который приближается к перекрестку по оси Oy:

$x_2(t) = 0$

$y_2(t) = l_0 - v_2 t$

Квадрат расстояния $L^2$ между автомобилями в момент времени $\text{t}$ определяется по теореме Пифагора:

$L^2(t) = (x_1(t) - x_2(t))^2 + (y_1(t) - y_2(t))^2$

$L^2(t) = (v_1 t - 0)^2 + (0 - (l_0 - v_2 t))^2 = (v_1 t)^2 + (v_2 t - l_0)^2$

Раскроем скобки:

$L^2(t) = v_1^2 t^2 + v_2^2 t^2 - 2 l_0 v_2 t + l_0^2$

$L^2(t) = (v_1^2 + v_2^2)t^2 - 2 l_0 v_2 t + l_0^2$

Это выражение является квадратичной функцией от времени $\text{t}$. Минимальное расстояние $\text{L}$ будет в тот момент времени $t_{min}$, когда его квадрат $L^2$ минимален. Чтобы найти время $t_{min}$, можно найти вершину параболы или, что эквивалентно, взять производную от $L^2(t)$ по времени и приравнять ее к нулю.

Найдем производную:

$\frac{d(L^2)}{dt} = \frac{d}{dt} \left((v_1^2 + v_2^2)t^2 - 2 l_0 v_2 t + l_0^2 \right) = 2(v_1^2 + v_2^2)t - 2 l_0 v_2$

Приравняем производную к нулю:

$2(v_1^2 + v_2^2)t_{min} - 2 l_0 v_2 = 0$

$t_{min} = \frac{2 l_0 v_2}{2(v_1^2 + v_2^2)} = \frac{l_0 v_2}{v_1^2 + v_2^2}$

Теперь подставим найденное значение $t_{min}$ в выражение для квадрата расстояния, чтобы найти минимальное значение $(L_{min})^2$:

$(L_{min})^2 = (v_1^2 + v_2^2) \left( \frac{l_0 v_2}{v_1^2 + v_2^2} \right)^2 - 2 l_0 v_2 \left( \frac{l_0 v_2}{v_1^2 + v_2^2} \right) + l_0^2$

$(L_{min})^2 = \frac{(v_1^2 + v_2^2)l_0^2 v_2^2}{(v_1^2 + v_2^2)^2} - \frac{2 l_0^2 v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} + l_0^2$

$(L_{min})^2 = \frac{l_0^2 v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} - \frac{2 l_0^2 v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} + l_0^2$

$(L_{min})^2 = l_0^2 - \frac{l_0^2 v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} = l_0^2 \left( 1 - \frac{v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} \right)$

$(L_{min})^2 = l_0^2 \left( \frac{v_1^2 + v_2^2 - v_2^2}{v_1^2 + v_2^2} \right) = l_0^2 \frac{v_1^2}{v_1^2 + v_2^2}$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти само минимальное расстояние $L_{min}$:

$L_{min} = \sqrt{l_0^2 \frac{v_1^2}{v_1^2 + v_2^2}} = \frac{l_0 v_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}$

Ответ: $L_{min} = \frac{l_0 v_1}{\sqrt{v_1^2 + v_2^2}}$