Проектная деятельность, страница 37 - гдз по физике 10 класс учебник Кабардин, Орлов

Постройте экспериментальную циклоиду. Для этого исследуйте траекторию движения точки обода колеса. Вам понадобится простое оборудование: лист бумаги, длинная линейка, CD (старый) и карандаш.

Это исследование лучше проводить вдвоём.

Прикрепите к столу лист бумаги, на длинный край листа положите линейку и закрепите её. На краю диска фломастером поставьте яркую точку. Положите диск на бумагу так, чтобы он мог катиться по линейке (см. рис.). Далее перемещайте без проскальзывания диск вдоль линейки, отмечая карандашом на бумаге положение яркой точки.

Соедините плавной линией карандашные точки и исследуйте полученную кривую.

Для выполнения этого эксперимента и исследования траектории движения точки обода колеса необходимо следовать описанному алгоритму.

Построение экспериментальной циклоиды

1. Подготовьте оборудование: лист бумаги (желательно формата А3 или больше для построения полной арки циклоиды), длинную линейку, старый CD или другой круглый предмет (например, крышку от банки), карандаш и фломастер.

2. Закрепите лист бумаги на ровной поверхности стола, например, с помощью скотча, чтобы он не сдвигался.

3. Вдоль одного из длинных краев листа бумаги положите и закрепите линейку. Она будет служить направляющей для качения диска.

4. На самом краю (ободе) CD-диска поставьте яркую точку с помощью фломастера.

5. Поставьте диск на лист бумаги так, чтобы он касался края линейки. Начальное положение отмеченной точки должно быть внизу, в точке касания диска и бумаги. Поставьте в этом месте на бумаге первую отметку карандашом (это будет начальная точка траектории).

6. Аккуратно, без проскальзывания, прокатите диск вдоль линейки на небольшое расстояние. Остановите диск и снова отметьте карандашом на бумаге текущее положение яркой точки.

7. Повторяйте шаг 6, прокатывая диск дальше и отмечая положение точки через равные небольшие промежутки. Чем больше точек вы отметите, тем точнее будет ваша кривая. Продолжайте, пока точка не совершит полный оборот и снова не окажется в самом низу.

8. После того как будет отмечено достаточное количество точек, уберите диск и линейку. Соедините все отмеченные карандашные точки плавной линией. У вас получится арка циклоиды.

Ответ: В результате выполнения описанных действий на бумаге будет построена траектория точки на ободе катящегося колеса. Эта кривая, имеющая форму повторяющихся арок, и есть циклоида.

Исследование полученной кривой

Полученная в ходе эксперимента кривая называется циклоидой. Это плоская кривая, определяемая как траектория точки, лежащей на окружности, которая катится без скольжения по прямой линии. Для ее математического описания введем систему координат.

Дано:

Круг (диск) радиуса $\text{R}$, который катится без скольжения по горизонтальной оси $\text{Ox}$.
Отмеченная точка $\text{M}$ изначально находится в начале координат $(0, 0)$.
Угол поворота радиуса, соединяющего центр круга с точкой $\text{M}$, равен $\theta$ (в радианах).

Найти:

Параметрические уравнения, описывающие координаты точки $M(x, y)$ в зависимости от угла поворота $\theta$.

Решение:

1. Пусть ось $\text{Ox}$ — это прямая, по которой катится круг, а ось $\text{Oy}$ перпендикулярна ей и проходит через начальное положение точки $\text{M}$.
2. Центр круга $\text{C}$ всегда находится на высоте $\text{R}$ от оси $\text{Ox}$. Его координата $y_C = R$.
3. При качении без скольжения расстояние, которое проходит центр круга по горизонтали, равно длине дуги, "размотавшейся" по прямой. Эта длина равна $R\theta$. Таким образом, координата $x_C = R\theta$. Координаты центра круга: $C(R\theta, R)$.
4. Теперь найдем положение точки $M(x, y)$ относительно центра $\text{C}$. Если бы круг просто вращался вокруг своего центра, то координаты точки $\text{M}$ относительно $\text{C}$ были бы $(R\cos\alpha, R\sin\alpha)$. Однако в нашей постановке удобнее выразить их через угол $\theta$. Когда точка $\text{M}$ внизу, вектор из центра к ней направлен вертикально вниз. При повороте на угол $\theta$ этот вектор поворачивается. Координаты точки $\text{M}$ относительно центра $\text{C}$ будут: $x_{rel} = -R\sin\theta$ и $y_{rel} = -R\cos\theta$.
5. Чтобы найти абсолютные координаты точки $\text{M}$, сложим координаты центра $\text{C}$ и относительные координаты $\text{M}$:
$x = x_C + x_{rel} = R\theta - R\sin\theta = R(\theta - \sin\theta)$
$y = y_C + y_{rel} = R - R\cos\theta = R(1 - \cos\theta)$
Это и есть параметрические уравнения циклоиды.

Свойства циклоиды:

1. Форма: Кривая состоит из одинаковых арок. Максимальная высота арки, достигаемая при $\theta = \pi$, равна $y_{max} = R(1 - \cos\pi) = 2R$. Длина основания одной арки (когда точка совершает полный оборот, $\theta = 2\pi$) равна $x = R(2\pi - \sin(2\pi)) = 2\pi R$.

2. Длина арки: Длина одной арки циклоиды равна $L = 8R$. Это в 4 раза больше диаметра порождающего круга.

3. Площадь под аркой: Площадь, ограниченная одной аркой циклоиды и прямой, по которой она катится, равна $S = 3\pi R^2$. Это ровно в три раза больше площади порождающего круга.

4. Брахистохрона: Циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Если перевернуть арку циклоиды, то тело, скатывающееся по ней из одной точки в другую (не по вертикали) под действием силы тяжести, затратит минимальное время по сравнению с любой другой траекторией.

5. Таутохрона: Циклоида является таутохронной кривой. Это означает, что если по перевернутой арке циклоиды скатывается тело без трения, то время его спуска до нижней точки не зависит от начального положения на кривой.

Ответ: Полученная кривая является циклоидой. Она описывается параметрическими уравнениями $x = R(\theta - \sin\theta)$ и $y = R(1 - \cos\theta)$. Циклоида обладает рядом уникальных математических и физических свойств: ее длина и площадь под аркой выражаются через радиус порождающей окружности простыми соотношениями, а также она является решением задач о брахистохроне (кривой наибыстрейшего спуска) и таутохроне (изохронной кривой).